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2017_2018学年高中数学第二章(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2第一课时指数函数及其性质课件新人教A版必修1_图文

2017_2018学年高中数学第二章(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2第一课时指数函数及其性质课件新人教A版必修1_图文

2.1.2 指数函数及其性质 第一课时 指数函数及其性质 预习课本 P54~58,思考并完成以下问题 (1)指数函数的概念是什么? (2)结合指数函数的图象, 可归纳出指数函数具有哪些性质? (3)指数函数的图象过哪个定点?如何求指数型函数的定义 域和值域问题? [新知初探] 1.指数函数的定义 x y = a (a>0,且 a≠1) 叫做指数函数,其中 函数 x 是自变量,函数的定义域为 R. [点睛] 指数函数解析式的 3 个特征 (1)底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数. (2)自变量 x 的位置在指数上,且 x 的系数是 1. (3)ax 的系数是 1. 2.指数函数的图象和性质 a>1 图 象 a>1 0<a<1 0<a<1 R 定义域 (0,+∞) 性 值域 质 过定点 过点 (0,1) 即 x= 0 时,y=1 单调性 是 R 上的 增函数 是 R 上的 减函数 [点睛] 底数 a 与 1 的大小关系决定了指数函数图象的“升”与 “降”.当 a>1 时,指数函数的图象是“上升”的;当 0<a<1 时, 指数函数的图象是“下降”的. [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)y=x2 是指数函数. (2)指数函数 y=ax 中, a 可以为负数. (3)指数函数的图象一定在 x 轴的上方. ( × ) ( × ) ( √) 2.函数 y=( 3-1)x 在 R 上是( A.增函数 C.偶函数 ) B.奇函数 D.减函数 答案:D 3.函数 y=2- x 的图象是( ) 答案:B 4.函数 f (x)=2x+3 的值域为________. 答案:(3,+∞) 指数函数的概念 [例 1] (1)下列函数: ①y=2· 3x;②y=3x+1;③y=3x;④y=x3. 其中,指数函数的个数是( A.0 A.a=1 或 a=3 C.a=3 ) C.2 ) B.a=1 D. a>0 且 a≠1 B.1 D.3 (2)函数 y=(a-2)2ax 是指数函数,则( [解析] (1)①中,3x 的系数是 2,故①不是指数函数; ②中,y=3x+1 的指数是 x+1,不是自变量 x,故②不是指数 函数; ③中,y=3x,3x 的系数是 1,幂的指数是自变量 x,且只有 3x 一项,故③是指数函数; ④中,y=x3 中底数为自变量,指数为常数,故④不是指数函 数.所以只有③是指数函数. 2 ? ? a - 2 ? =1, ? (2)由指数函数定义知? ? ?a>0,且a≠1, 所以解得 a=3. [答案] (1)B (2)C 判断一个函数是指数函数的方法 (1)需判断其解析式是否符合 y=ax(a>0,且 a≠1)这一结构 特征. (2)看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一 个特征不具备,则该函数不是指数函数. [活学活用] 1.若函数 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,则 a=________. 解析:由 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数, 2 ? ?a -3a+3=1, 可得? ? ?a>0,且a≠1, ? ?a=1或a=2, 解得? ? ?a>0,且a≠1, ∴a=2. 答案:2 指数型函数的定义域和值域 [例 2] 求下列函数的定义域和值域: 1 x-4 (1) y=2 [解] (2) ?2? ?-|x| y=? ?3 ? ? ? (3)y= 1 x-4 ?1? 1-?2?x ? ? 1 x-4 (1) x 应满足 x - 4≠0 , ∴x≠4 , ∴ 定义域为 {x|x≠4 , ≠1,∴y=2 的值域为{y|y>0, 1 x∈R}.∵ ≠0,∴2 x-4 且 y≠1}. (2)定义域为 R. ?2?- ?3? ?3? | x | | x | ∵|x|≥0,∴y=?3? =?2? ≥?2?0=1,∴此函数的值域为[1,+∞). ? ? ? ? ? ? (3)由题意知 ?1? ?1 ? ?1? ? ?x ? ?x ?0 1-? ? ≥0,∴? ? ≤1=? ?2? ,∴x≥0,∴定 ?2? ?2 ? ? ? ?1? ?x 义域为{x|x≥0,x∈R}.∵x≥0∴? ?2? ≤1. ? ? ?1? ?1? ?1? ? ?x ? ?x ?x 又∵? ? >0,∴0<? ? ≤1.∴0≤1-? ?2? <1,∴0≤ ?2? ?2? ? ? y<1, ∴此函数的值域为[0,1). 指数型函数的定义域、值域的求法 (1)求与指数函数有关的函数的定义域时,首先观察 函数是 y=ax 型还是 y=af(x)型,前者的定义域是 R,后者 的定义域与 f(x)的定义域一致,而求 y= f?ax?型函数的 定义域时,往往转化为解指数不等式(组). (2)求与指数函数有关的函数的值域时,在运用前面 介绍的求函数值域的方法的前提下,要注意指数函数的 值域为(0,+∞),切记准确运用指数函数的单调性. [活学活用] 2.求下列函数的定义域、值域: ?1? x-2 -2 x -3 (1)y=3 5x-1 (2)y=?2? ? ? 1 解:(1)由 5x-1≥0,得 x≥ , 5 ? ? ? ? 1 ? ? ? 所以所求函数的定义域为 x x≥5 ?.由 5x-1≥0,得 y≥1, ? ? ? ? ? 所以所求函数的值域为[1,+∞). (2)定义域为 R. ∵x -2x- 3=(x-1) 2 2 ?1? - 4≥-4,∴?2? ? ? x -2 - 2 x -3 ?1?- ≤?2? 4=16. ? ? ?1? -2 又∵?2? x - 2 x -3 >0, ? ? ?1? -2 ∴函数 y=?2? x - 2 x -3 的值域为(0,16]. ? ? 指数型函数图象 题点一:指数型函数过定点问题 1.函数 y=ax-3+3(a>0,且 a≠1)的图

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