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人教A版选修【2-2】1.5.3《定积分的概念》ppt课件

人教A版选修【2-2】1.5.3《定积分的概念》ppt课件


第一章

导数及其应用

1.5 定积分的概念 1.5.3 定积分的概念

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1.了解定积分的概念. 2.会用定义求一些简单的定积分.
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基 础 梳 理

b-a ? n f(ξi) i= 1
n

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b-a linm ? n f(ξi) →∞ i= 1
n

定积

基 础 梳 理

积分下限
区间 被积式

积分上限
被积函数

积分 积分变量
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f(x)≥0

基 础 梳 理

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答案:

基 础 梳 理

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答案:

基 础 梳 理

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答案:正



0

自 测 自 评

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自 测 自 评

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自 测 自 评

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自 测 自 评

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栏 目 链 接

题型1

用定义求定积分

2 例1 用定积分的定义计算: ? 1 x 0 dx.

解析:(1)分割. n-1 n 1 2 将区间[0,1]分成 n 等份,0<n<n<…< n <n=1,分割后的 i i-1 1 区间长为 Δx=n- n =n. (2)近似代替. 第 i 个小曲边梯形的面积可近似为
?i-1? ?i-1?2 1 ? ? ? · (i=1,2,…,n). ΔSi≈ΔSi′=f ·Δx=? n n ? ? ? ? n

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(3)求和.
?
1 2 0x dx≈Sn=

?i-1? ?· Δx ?ΔSi′= ?f? n ? i= 1 i= 1 ?
n n

?n-1?2 1 1 ? 1 ?2 1 ? ? ·+…+? ?· =0· + n ?n? n ? n ? n

栏 目 链 接

1 2 = 3[1 +22+…+(n-1)2] n 1 ?? 1? 1? = ?1-n??2-n?. 6? ?? ?

(4) 取极限. 当 n 趋向于无穷大,即 Δx 趋向于 0 时, 1 ?? 1? 1? 2 Sn= ?1-n??2-n?趋向于 ? 1 0x dx,从而有 6? ?? ?
?
1 2 S =lim 0x dx=lim n→∞ n n→∞

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1 ?? 1? 1 1? ?1- ??2- ?= . 6? n?? n? 3

点评:用定义法求定积分的四个步骤:①分割;② 近似代替;③求和;④取极限.其中分割通常都是对积 分区间进行等分,近似代替时通常取区间的端点,求和 时要注意一些公式的灵活应用.
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跟 踪 训 练

3 1.利用定积分的定义计算 ? 2 (x+2)dx.

解析:令 f(x)=x+2. 将区间[ 2,3]平均分为 n 个小区间, 每个小区间的长度为
? i-1 1 i? ?,i=1,2…,n. Δxi=n,[xi-1,xi]=?2+ , 2 + n n? ?
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i i i 取 ξi=xi=2+n,则 f(ξi)=2+n+2=4+n.
? f(ξi)Δxi= ?
i= 1 n n

i= 1

? i? 1 ?4+ ?· n? n ?

跟 踪 训 练

=?
i= 1

n

?4 n+1 i? 4 1+2+…+n ? + 2?=n·+ =4+ . 2 n n n n 2n ? ? ? n+1? 9 ?4+ ?= . 2n ? 2 ?

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所以 ?

3 2(x+2)dx=lim n→∞

题型2

用几何意义求定积分

例2

用定积分的意义求下列各式的值:
3 (1) ? - 1(3x+1)dx;

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(2)

1-x2dx;

(3) ? π -πsin xdx.

解析:(1)由直线 x=-1,x=3,y=0 以及 y=3x+1 所围 成的图形,如图所示.

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? -1(3x+1)dx 表示由直线 x=-1,x=3,y=0 以及 y=3x
3

+1 所围成的图形在 x 轴上方的面积减去在 x 轴下方的面积, 1 ? 1? 1 ? 1 ? ∴ ? -1(3x + 1)dx = × ?3+3? ×(3×3 + 1) - × ?-3+1? ×2 2 ? 2 ? ? ?
3

50 2 = - =16. 3 3

(2)由 y= 1-x2可知,x2+y2=1(y≥0)的图象如下图所示,

由定积分的几何意义知,

1-x2dx 等于圆心角为 120° 的
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弓形 CED 的面积与矩形 ABCD 的面积之和.

1 2 1 2 π 3 2 S 弓形= × π×1 - ×1×1×sin π= - , S 矩形=|AB|· |BC| 2 3 2 3 3 4 3 1 3 =2× × = , 2 2 2 π 3 3 π 3 1-x dx= - + = + . 3 4 2 3 4
2



栏 目 链 接

(3)函数 y=sin x 在区间[-π,π]上是一个奇函数,图象关于 原点成中心对称,由在 x 轴上方和下方面积相等的两部分构成, 故该区间上定积分的值为面积的代数和,这个代数和为 0,即 f
π
-π

sin xdx=0.

点评: 定积分 ? b 介于 x=a, a f(x)dx 的几何意义是: x=b 之间,x 轴上、下相应曲边平面图形面积的代数 和, 其中 x 轴上方部分的面积为正, x 轴下方部分的面 积为负.
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跟 踪 训 练

2.根据定积分的几何意义推出下列定积分的值:
3 2 (1) ? - 9 - x dx; 3

(2) ? 2π 0 cos xdx; (3) ? 3 1|x-2|dx.
解析:(1)在平面上,y= 9-x2表示的几何图形为以原 点为圆心,以 3 为半径的上半圆如图所示,其面积为

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跟 踪 训 练

1 9π 2 S= ·π·3 = . 2 2

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由定积分的几何意义知, ? -3

3

9π 9-x dx= . 2
2

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(2)如图, ? 2π 0 cos xdx=A1-A2+A3=0.

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跟 踪 训 练

(3)根据定积分的几何意义,所求定积分表示的是 y=|x -2|和 x=3,x=1 及 y=0 所围成的图形的面积,即图中阴 影部分面积.
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因此, ?

1 1 3 1|x-2|dx= ×1×1+ ×1×1=1. 2 2

题型3

利用性质求定积分

2 3 例3 (1)计算 ? 3 ( 9 - x - x )dx 的值; -3

? ?4-x,x∈[2,3?, (2)已知 f(x)=? 5 x ? ?2-2,x∈[3,5],
求 f(x)在区间[0,5]上的定积分.

x,x∈[0,2?,

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解析:(1)如图:

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由定积分的几何意义得:
? -3
3 2 π × 3 9π 2 3 3 9-x dx= = ,? - x 3 dx=0. 2 2

由定积分性质得
? -3( 9-x -x )dx= ? -3
3 2 3 3

9π 9-x dx- ? -3x dx= . 2
2 3 3

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(2)由定积分的几何意义得:
?

1 2 0xdx= ×2×2=2. 2

?

1 3 3 2(4-x)dx= ×(1+2)×1= , 2 2 x? 1 5?5 ? ? - d x = ×2×1=1. 3
?2

?

2?

2

x? 3 9 5 2 3 5?5 ∴ ? 0f(x)dx= ? 0xdx+ ? 2(4-x)dx+ ? 3?2-2?dx=2+ +1= . 2 2 ? ? 点评:定积分的性质主要涉及定积分的线性运算,这是解决 定积分计算问题的重要工具.注意这些性质的正用、逆用以及变 形使用.

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跟 踪 训 练

? 3. 已知函数 f(x)=?2x,x∈[2,π?, ? ?cos x,∈[π,2π],
[-2,2π]上的积分.

3 x ? ,x∈[-2,2?,

求 f(x)在区间

2 3 解析:由定积分的几何意义知 ? - x 2 dx=0,

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?

?π-2??2π+4? π 2 2π ? 2 x d x = = π - 4 , 2 π cos 2

xdx=0.

由定积分的性质得
? -2f(x)dx= ? -2x dx+ ? 2 2xdx+ ? π cos xdx=π -4.
2π 2 3 π 2π 2


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