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高中数学第一章解三角形复习课件新人教A版必修5

高中数学第一章解三角形复习课件新人教A版必修5


1 解三角形 单元复习 一、[设计问题,创设情境] ? 问题一:以上我们学习了正弦定理、余弦 定理及他们的应用 ,同学们回忆我们所学 的基本知识,然后自己写出来。 二、[信息交流,揭示规律] ? 问题2:应用正弦定理、余弦定理 ,我们可 以解决三角形的哪几类问题? 例题 1 在△ABC 中, 由已知条件解三角形, 其中有两解的 是( ) A.b=20,A=45° ,C=80° B.a=30,c=28,B=60° C.a=14,b=16,A=45° D.a=12,c=15,A=120° [解析] 解法一:A 中已知两角及一边有唯一解;B 中已知两 边及夹角,有唯一解;C 中,bsinA=8 2<14,a<b 有两解;D 中, A 是最大角,但 a<c,所以无解. sinB sin45° 解法二: 由 a=14, b=16, A=45° 及正弦定理得,16 = 14 , 4 2 所以 sinB= 7 ,因为 a<b,A=45° ,所以角 B 有两解. [答案] C 三:[运用规律,解决问题] 据所给条件确定三角形的形状,主要有两条途径: (1)化边为角; (2)化角为边. 常见具体方法有: ①通过正弦定理实施边角转换; ②通过余弦定理实施边角转换; ③通过三角变换找出角之间的关系; ④通过三角函数值符号的判断及正、余弦函数有界性的讨 论; 另外要注意 b2+c2-a2>0?A 为锐角, b2+c2-a2=0?A 为 直角,b2+c2-a2<0?A 为钝角. 例题 2:已知方程 x2-(bcosA)x+acosB=0 的两根之积等 于两根之和,且 a、b 为△ABC 的两边,A、B 为两内角,试判 定这个三角形的形状. [解]设方程的两根为 x1、x2,由韦达定理知 x1+x2=bcosA, x1x2=acosB, 由题意得 bcosA=acosB,根据余弦定理,得 b2+c2-a2 a2+c2-b2 b· 2bc =a· 2ac . ∴b2+c2-a2=a2+c2-b2, 化简得 a=b,∴△ABC 为等腰三角形. 四、[变练演编,深化提高] 再我们掌握了基本的解三角形之外,我们还可以应用 它来解决实际应用问题, 问题 3:请同学们思考我们可以用正弦定理、余弦定 理解决实际问题的那几类? 解三角形应用题常见的几种情况: (1)实际问题经抽象概括后, 已知量与未知量全部集中在一 个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个 (或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的 三角形, 然后逐步求出其它三角形中的解, 有时需设出未知量, 从几个三角形中列出方程,解方程得出所要求的解. 常见题型有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问 题、计算面积问题等. 例题 3:如图,测量人员沿直线 MNP 的方向测量,测得塔 顶 A 的仰角分别是∠AMB=30° ,∠ANB=45° ,∠APB=60° , 且 MN=PN=500m,求塔高 AB. [解] 设 AB=x, ∵AB 垂直于地面, ∴△ABM,△ABN,△ABP 均为直角三角形, x x ∴BM=tan30° = 3x,BN=tan45° =x, 3 x BP=tan60° = 3 x. 在△MNB 中,BM2=MN2+BN2-2MN· BN· cos∠MNB, ∴3x2=250000+x2-2×500x· cos∠MNB① 在△PNB 中, BP2=NP2+BN2-2NP· BN· c

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