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2017年高中数学人教A版选修4-4自我小测:第一讲一 平面直角坐标系 (1) Word版含解析(1)

2017年高中数学人教A版选修4-4自我小测:第一讲一 平面直角坐标系 (1) Word版含解析(1)

自我小测 1.已知平面上两定点 A,B,且 A(-1,0),B(1,0),动点 P 与两定点连线的斜率之积为 -1,则动点 P 的轨迹是( A.直线 C.椭圆的一部分 ). B.圆的一部分 D.双曲线的一部分 2.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 ? 则曲线 C 的方程为( A.25x2+9y2=1 C.25x+9y=1 ). B.9x2+25y2=1 D. 5 x, ? x'= 后,曲线 C 变为曲线 x′2+y′2=1, y' = 3 y ? x2 y 2 + = 1 25 9 ). 3.有相距 1 400 m 的 A,B 两个观察站,在 A 站听到爆炸声的时间比在 B 站听到爆炸 声的时间早 4 s.已知当时声音速度为 340 m/s,则爆炸点所在的曲线为( A.双曲线 B.直线 C.椭圆 D.抛物线 ). 4.将点 P(-2,2)变换为 P′(-6,1)的伸缩变换公式为( 1 ? ? x'= x A. ? 3 ? y' = 2 y ? ? x'=3 x ? C. ? 1 y'= y ? ? 2 1 ? ? x'= x B. ? 2 ? y' = 3 y ? D. ? 3x ? x'= 2y ? y'= 1?2 ++ 1 ? x+ 1?2 + 1 ,则 f(x)的最小值为__________. 5.已知函数 f (x)= ? x- 6. 已知平面内三点 A(2,2), B(1,3), C(7, x), 且满足 BA ? AC , 则 x 的值为__________. 7. △ABC 中, B(-2,0), C(2,0), △ABC 的周长为 10, 则点 A 的轨迹方程为____________. 8.已知圆的半径为 6,圆内一定点 P 到圆心的距离为 4,A,B 是圆上的两个动点,且 满足∠APB=90° ,求矩形 APBQ(顺时针)的顶点 Q 的轨迹方程. ??? ? ??? ? ? x- 1?2 ? y+2?2 + = 1 变为中 9. 通过平面直角坐标系中的平移与伸缩变换, 可以把椭圆 9 4 心在原点的单位圆,求上述平移变换与伸缩变换,以及这两种变换的合成变换. 10. 某河上有抛物线形拱桥, 当水面距拱顶 5 m 时, 水面宽 8 m, 一木船宽 4 m, 高 2 m, 载货后木船露在水面上的部分高为 开始不能通航? 3 m ,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,木船 4 参考答案 1. 答案:B 解析:设点 P 的坐标为(x,y), 因为 kPA· kPB=-1, 所以 y y ? =- 1, x+ 1 x- 1 整理得 x2+y2=1(x≠± 1). 2. 答案:A 解析:将伸缩变换 ? 代入 x′2+y′2=1, 得 25x2+9y2=1. 3. 答案:A 4. 答案:C 解析:由伸缩变换公式 ? 5 x, ? x'= 3y ? y'= ? x'=? x? ? ? 0?, ? y'=? y? ? ? 0?, 得? ??6=? ???2?, ?1=? ? 2, 3 x, ? x'= 1 ? ∴λ=3, ?= ,故伸缩变换公式为 ? 1 2 y'= y. ? ? 2 5. 答案: 2 2 解析:f(x)可看作是平面直角坐标系下 x 轴上一点(x,0)到两定点(-1,1)和(1,1)的距离之 和,结合图形可得. 6. 答案:7 解析: BA =(1,-1), AC =(5,x-2). ??? ? ???? ∵ BA ? AC , ∴ BA ? AC =5-(x-2)=0.∴x=7. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? x2 y 2 1 (y≠0) 7. 答案: + = 9 5 解析:∵△ABC 的周长为 10, ∴|AB|+|AC|+|BC|=10,其中|BC|=4,则有|AB|+|AC|=6>4, ∴点 A 的轨迹为椭圆除去 B,C 两点,且 2a=6,2c=4, ∴a=3,c=2,b2=5, ∴点 A 的轨迹方程为 x2 y 2 + = 1 (y≠0). 9 5 8. 解:如图,以圆心 O 为原点,OP 所在的直线为 x 轴,建立直角坐标系,则圆的方 程为 x2+y2=36,P(4,0). 设 Q(x,y),PQ 与 AB 相交于点 P1, 则P 1? ? 4+x y ? , ?, ? 2 2? 2 2 由|PQ|=|AB|= 2 r -| OP 1| , 2 2 得 ? x-4 ? +y ?? 4+x ?2 ? y ?2 ? = 2 36-?? ? +? ? ? , 2 ? ? ?2? ? ? ? ? 化简得 x2+y2=56,即所求顶点 Q 的轨迹方程为 x2+y2=56. 1, ? x'=x- ? x- 1?2 ? y+2?2 + = 1变为椭圆 9. 解 : 先 通 过 平 移 变 换 ? 把椭圆 9 4 ? y'=y+2, x' ? x''= , ? x' y' x' 2 y' 2 ? 3 + = 1,再通过伸缩变换 ? + = 1变为单位圆 x″2+y″2=1. 把椭圆 y' 9 4 9 4 ? y''= , ? ? 2 2 2 1 ? 1?, ? x''=3 ? x- 由上述两种变换合成的变换是 ? ? y''=1 ? y+2?. ? ? 2 10. 解:根据题意,建立下图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为 x2=-2py(p> 0). ∵A(4,-5)在抛物线上, ∴42=-2p(-5),p=1.6. ∴x2=-3.2y. 设当水面上涨到与抛物线拱顶相距 h m 时船开始不能通航,这时木船两侧与抛物线接 触,于是可设木船宽 BB′ 的端点 B 的坐标为 (2 , y1) ,由 22 =- 3.2y1 ,得 y1= ? 5 , 4 3 5 3 h= |y1|+ = ? + = 2(m) ,所以当水面上涨到与抛物线拱顶相距 2 m 时,船开始不能通 4 4 4 航.

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