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2017届高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 计时双基练39 合情推理与演绎推理 理

2017届高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 计时双基练39 合情推理与演绎推理 理


计时双基练三十九

合情推理与演绎推理
2

A 组 基础必做 1.(2016·合肥模拟)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x +1)是正弦函数,因此 f(x)= sin(x +1)是奇函数,以上推理( A.结论正确 C.小前提不正确
2 2

) B.大前提不正确 D.全不正确

解析 因为 f(x)=sin(x +1)不是正弦函数,而是复合函数,所以小前提不正确。 答案 C 2.观察(x )′=2x,(x )′=4x ,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( A.f(x) C.g(x) 解析 B.-f(x) D.-g(x) )
2 4 3

由所给函数及其导数知,偶函数的导函数为奇函数,因此当 f(x)是偶函数时,

其导函数为奇函数,故 g(-x)=-g(x)。 答案 D 3.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则

S1 S2

1 = 。推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体 P-ABC 的内切球体积为 V1,外接球体积 4 为 V2,则 =( A. C. 1 8 1 64

V1 V2

) B. D. 1 9 1 27

V1 1 解析 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3,故 = 。 V2 27
答案 D 4.下列推理是归纳推理的是( )

A.A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则 P 点的轨迹为椭圆 B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 C.由圆 x +y =r 的面积 π r ,猜想出椭圆 2+ 2=1 的面积 S=π ab D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 解析 由选项 A 可知其为椭圆的定义;由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,归纳出
2 2 2 2

x 2 y2 a b

1

数列的前 n 项和 Sn 的表达式,选项 B 属于归纳推理;由圆 x +y =r 的面积 π r ,猜想出椭 圆 2+ 2=1 的面积 S=π ab,选项 C 是类比推理;科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇,选项 D 属于类比推理。故选 B。 答案 B 5.(2015·龙岩质检)若数列{an}是等差数列,bn=

2

2

2

2

x2 y2 a b

a1+a2+…+an ,则数列{bn}也是等 n

差数列。类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列,且{dn}也是等比数列,则{dn}的 表达式应为( A.dn= B.dn= )

c1+c2+…+cn n c1·c2·…·cn n

n 2 n n c1 +cn+…+cn C.dn= n

D.dn= c1·c2·…·cn 解析 因为数列{an}是等差数列,所以 bn=

n

a1+a2+…+an a1+an = ,{bn}也为等差数列。 n 2 n n
n-1

因为正项数列{cn}是等比数列, 设公比为 q, 则 dn= c1·c2·…·cn= c1·c1q·…·c1q =c1q

n-1
2

,所以{dn}也是等比数列。

答案 D 6.观察下列事实:|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4,|x|+|y|=2 的不同 整数解(x,y)的个数为 8,|x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为 12,…,则|x|+|y| =20 的不同整数解(x,y)的个数为( A.76 C.86 ) B.80 D.92

解析 通过观察可以发现|x|+|y|的值为 1,2,3 时, 对应的(x, y)的不同整数解的个数 为 4,8,12,可推出当|x|+|y|=n 时,对应的不同整数解(x,y)的个数为 4n,所以|x|+|y| =20 的不同整数解(x,y)的个数为 80。 答案 B 7.(2016·石家庄模拟)把 1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为用这些 数目的点可以排成一列正三角形(如图)。

2

则第 7 个三角形数是( A.27 C.29 解析

) B.28 D.30

a1=1,a2=1+2=3,a3=1+2+3=6,a4=1+2+3+4=10,a5=1+2+3+4

+5=15,a6=1+2+3+4+5+6=21,a7=1+2+3+4+5+6+7=28。 答案 B 8.(2015·云南省昆明高三统一考试)观察下列等式:1 =1 1 +2 =3 1 +2 +3 =6 1 +2 +3 +4 =10 ,…,根据上述规律,第 n 个等式为________。 解析 第一个等式 1 =1 ;第二个等式 1 +2 =3 ,得 1 +2 =(1+2) ;第三个等式 1
3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 2 3 2, 3 3 2, 3 3 3 2, 3

+2 +3 =6 ,得 1 +2 +3 =(1+2+3) ;第四个等式 1 +2 +3 +4 =10 ,得 1 +2 +3 + 4 =(1+2+3+4) ,由此可猜想第 n 个等式为 1 +2 +3 +4 +…+n =(1+2+3+…+n) =?
3 2 3 3 3 3 3 2

?n?n+1??2 ? 2 ? ?
答案 1 +2 +3 +4 +…+n =?
3 3 3 3 3

?n?n+1??2 ? 2 ? ?
Pa Pb Pc ha hb hc

9.在平面上,设 ha,hb,hc 是三角形 ABC 三条边上的高,P 为三角形内任一点,P 到相 应三边的距离分别为 Pa,Pb,Pc,我们可以得到结论: + + =1。把它类比到空间,三 棱锥中的类似结论为____________________。 答案 设 ha,hb,hc,hd 分别是三棱锥 A-BCD 四个面上的高,P 为三棱锥 A-BCD 内任 一点,P 到相应四个面的距离分别为 Pa,Pb,Pc,Pd,于是我们可以得到结论:

Pa Pb Pc Pd + + + =1。 ha hb hc hd
10.在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,求证: 类比上述结论,你能得到怎样的猜想?并说明理由。 证明 1

AD

2



1

AB

2



1

AC2

。在四面体 ABCD 中,

如图所示,由射影定理 AD =BD·DC,AB =BD·BC,AC =BC·DC,∴

2

2

2

1

AD2 BD·DC



1

3



BC2 BC2 = 2 。 BD·BC·DC·BC AB ·AC2
2 2 2

又 BC =AB +AC , ∴ 1

AD

2



AB2+AC2 1 1 = + 。 AB2·AC2 AB2 AC2
1

猜想,在四面体 ABCD 中,AB、AC、AD 两两垂直,AE⊥平面 BCD,则 证明:

AE2 AB2 AC2 AD2



1



1



1



如图,连接 BE 并延长交 CD 于 F,连接 AF。 ∵AB⊥AC,AB⊥AD, ∴AB⊥平面 ACD。 ∴AB⊥AF。 在 Rt△ABF 中,AE⊥BF, ∴ 1

AE

2



1

AB

2



1

AF2



∵AB⊥平面 ACD,∴AB⊥CD。 ∵AE⊥平面 BCD,∴AE⊥CD。又 AB 与 AE 交于点 A, ∴CD⊥平面 ABF,∴CD⊥AF。 ∴在 Rt△ACD 中, ∴ 1 = 1 + 1 + 1 1

AF2 AC2 AD2




1



1



AE

2

AB

2

AC

2

AD2

11.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin 13°+cos 17°-sin 13°cos 17°; ②sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15°; ③sin 18°+cos 12°-sin 18°cos 12°; ④sin (-18°)+cos 48°-sin(-18°)cos 48°; ⑤sin (-25°)+cos 55°-sin(-25°)cos 55°。 (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。 解 (1)选择②式,计算如下:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4

1 3 2 2 sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15°=1- sin 30°= 。 2 4 (2)归纳三角恒等式 3 2 2 sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α )= 。 4 证明如下: sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α ) = 1-cos 2α 1+cos?60°-2α ? + -sin α (cos 30°cos α +sin 30°sin α ) 2 2
2 2

1 1 1 1 3 1 2 = - cos 2α + + (cos 60°cos 2α +sin 60°sin 2α )- sin α cos α - sin α 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos 2α + + cos 2α + sin 2α - sin 2α - (1-cos 2α ) 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 =1- cos 2α - + cos 2α = 。 4 4 4 4 B 组 培优演练 1.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn。若存在正整数 m,n(m<n),使得 Sm=Sn,则 Sm+n= 0。类比上述结论,设正项等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn。若存在正整数 m,n(m<n),使得

Tm=Tn,则 Tm+n=(
A.0 C.m+n

) B.1 D.mn

解析 因为 Tm=Tn,所以 bm+1bm+2…bn=1, 从而 bm+1bn=1,Tm+n=b1b2…bmbm+1…bnbn+1…bn+m-1bn+m =(b1bn+m)·(b2bn+m-1)…(bmbn+1)·(bm+1bn)…=1。 答案 B 2.如图,我们知道,圆环也可以看作线段 AB 绕圆心 O 旋转一周所形成的平面图形,又 圆环的面积

R+r S=π (R2-r2)=(R-r)×2π × 。所以,圆环的面积等于以线段 AB=R-r 为宽,以
2

R+r AB 中点绕圆心 O 旋转一周所形成的圆的周长 2π × 为长的矩形面积。 请你将上述想法拓
2 展到空间,并解决下列问题:若将平面区域 M={(x,y)|(x-d) +y ≤r }(其中 0<r<d)绕 y
2 2 2

5

轴旋转一周,则所形成的旋转体的体积是( A.2π r d C.2π rd
2 2

) B.2π r d D.2π rd
2 2 2 2

解析 平面区域 M 的面积为 π r , 由类比知识可知: 平面区域 M 绕 y 轴旋转一周得到的 旋转体为实心的车轮内胎,旋转体的体积等于以圆(面积为 π r )为底,以 O 为圆心、d 为半 径的圆的周长 2π d 为高的圆柱的体积,所以旋转体的体积 V=π r ×2π d=2π r d。 答案 B 3.如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,那么对于区间 D 内的任意 x1,x2,…,xn,都 有
2 2 2 2

2

f?x1?+f?x2?+…+f?xn? ?x1+x2+…+xn? ≤f? ?。如果 y=sin x 在区间(0,π )上是 n n ? ?

凸函数,那么在△ABC 中,sin A+sin B+sin C 的最大值是________。 解析 由题意知,凸函数满足

f?x1?+f?x2?+…+f?xn? x1+x2+…+xn ≤f , n n
又 y=sin x 在区间(0,π )上是凸函数,则 sin A+sin B+sin C≤3sin π 3 3 = 。 3 2 答案 3 3 2

A+B+C
3

=3sin

4.如图,一个粒子在第一象限运动,在第一秒内它从原点运动到(0,1),然后它按图示 在 x 轴、y 轴的平行方向运动,且每秒移动一个单位长度,则在第 12 秒时,这个粒子所处 的位置是________。

解析 第一层有(0,1),(1,1),(1,0)三个整点(除原点),共用 3 秒;第二层有五个整 点(2,0), (2,1), (2,2), (1,2), (0,2), 共用 5 秒; 第三层有七个整点(0,3), (1,3), (2,3), (3,3),(3,2),(3,1),(3,0),共用 7 秒。则在第 12 秒时,这个粒子所处的位置是(3,3)。 答案 (3,3) 5.在平面直角坐标系中,若点 P(x,y)的坐标 x,y 均为整数,则称点 P 为格点。若一 个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形。格点多边形的面积记为 S,其内部 的格点数记为 N,边界上的格点数记为 L。例如图中△ABC 是格点三角形,对应的 S=1,N =0,L=4。

6

(1)图中格点四边形 DEFG 对应的 S,N,L 分别是________; (2)已知格点多边形的面积可表示为 S=aN+bL+c,其中 a,b,c 为常数。若某格点多 边形对应的 N=71,L=18,则 S=________(用数值作答)。 解析 (1)由定义知,四边形 DEFG 为一个直角梯形,其内部格点有 1 个,边界上格点有 6 个,S 四边形 DEFG=3。∴S=3,N=1,L=6。 (2)由待定系数法可得, 1 ? ?2=a·0+b·3+c, ?1=a·0+b·4+c, ? ?3=a·1+b·6+c

a=1, ? ? 1 ? ?b= , 2 ? ?c=-1。

1 当 N=71,L=18 时,S=1×71+ ×18-1=79。 2 答案 (1)3,1,6 (2)79

7


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