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1.3.2 奇偶性 第二课时 课件(人教A版必修1)

1.3.2 奇偶性 第二课时 课件(人教A版必修1)


第二课时 函数奇偶性的应用

学习目标
1.巩固函数奇偶性概念. 2.能利用函数的单调性、奇偶性解决有关 问题.

温故夯基
1.函数奇偶性的概念 任意 (1)偶函数:如果对于函数f(x)的定义域内_____ 一个x,都有 f(___________ -x)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做偶函 数. (2)奇函数:如果对于函数f(x)的定义域内_____ 任意 f(- x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇 一个x,都有 ____________ 函数. 2.奇、偶函数的图象 (1)偶函数的图象关于____ y轴 对称. (2)奇函数的图象关于原点 _____对称.

3.若函数f(x)是奇函数, 则f(-x)+f(x)=__;
0 若函数 f(x)是偶函数, 则f(-x)-f(x)= __.

0 4 .若函数y=f(x)具有奇偶性,则它的定义域
关于_____对称. 原点

5.若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)等 于什么?
提示:根据奇函数的定义,有f(-0)=-f(0), 故f(0)=0. 6.有没有函数的图象既关于y轴对称又关于 原点对称? 提示:有.如函数f(x)=0,x∈(-a,a),它 既是偶函数又是奇函数.

知新益能 1.奇函数在[a,b]和[-b,-a]上具有 相同 ____的单调性.

2.偶函数在[a,b]和[-b,-a]上具有 相反 ____的单调性.

问题探究 若奇函数y=f(x)在[a,b]上有最大值M, 那么在[-b,-a]上其最值怎样?
提示:设x∈[-b,-a],则-x∈[a, b]. ∴f(-x)≤M,∴-f(x)≤M,∴f(x)≥- M. 在[-b,-a]上有最小值-M.

预习测评
1.函数f(x)=x+x3的奇偶性为 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 解析:∵函数的定义域为R,且f(-x)= -x-x3=-(x+x3)=-f(x),∴f(x)为奇函 数. 答案:A

2.已知函数y=f(x)是偶函数,其图象与x 轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和 是 ( ) A.4 B.2 C.1 D.0 解析:根据偶函数图象关于y轴对称知,四 个交点的横坐标是两对互为相反数的数,因此 它们的和为0. 答案:D

3.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(

)

解析:图象关于原点或y轴对称的函数具有奇 偶性.选项A,D中的图形关于原点或y轴均不对称, 故排除;选项C中的图形虽然关于坐标原点对称, 但是过(0,-1)和(0,1)两点,这说明当x=0时,y= ±1,不符合函数的概念,不是函数的图象,故排 除;选项B中图形关于y轴对称,是偶函数.故选B. 答案:B

4.已知函数y=f(x)为奇函数,若f(3)-f(2)=1, 则f(-2)-f(-3)=________. 解析:函数y=f(x)为奇函数,故f(-x)=-f(x), 则f(-2)-f(-3)=-f(2)+f(3)=1. 答案:1 5.如果定义在区间[2-a,4]上的函数f(x)为偶函 数,那么a=________. 解析:因为奇偶函数的前提是定义域必须关于原 点对称,所以2-a=-4,∴a=6. 答案:6

补充

分段函数奇偶性的判断
3 2 ? ?x -3x +1?x>0? f(x)=? 3 2 ? x + 3 x -1?x<0? ?

【例 例 1 2】 判断函数 的奇偶性.

解:函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞), 关于原点对称. ①当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)3+3(-x)2 -1=-x3+3x2-1=-(x3-3x2+1)=-f(x). ②当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)3-3(-x)2 +1=-x3-3x2+1=-(x3+3x2-1)=-f(x). 由①②知,当x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时, 都有f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.

?x>0? ?x-1 ? ?x=0? 的奇偶性. 2. 判断函数 f(x)=?0 ? ?x+1 ?x<0? 解:函数f(x)的定义域是R,关于原点对对称, 当x<0时,-x>0,f(-x)=-x-1=-(x+1)=- f ( x) , 另一方面,当x>0时,-x<0, f(-x)=-x+1=-(x-1)=-f(x), 而f(0)=0,∴f(x)是奇函数.

课堂互动讲练

考点突破

利用函数奇偶性求函数值
若函数y=f(x)为偶函数,f(x0)=M,则 f(-x0)=M.

若函数y=f(x)为奇函数,f(x0)=M,则 f(-x0)=-M.

例1

已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)= 10,那么f(2)等于________. 【思路点拨】 利用奇函数f(x)+f(-x)=0. 【解析】 f(x)+8=x5+ax3+bx为奇函数, f(-2)+8=18,∴f(2)+8=-18,∴f(2)= -26. 【答案】 -26 【名师点拨】 可设F(x)=f(x)+8为奇函数, 即本题利用了F(2)+F(-2)=0.

互动探究1 在本例中,若f(m)=10,则f(- m)=________. 解析:令F(x)=f(x)+8,则 F(m)+F(-m)=0,

∴f(m)+8+f(-m)+8=0,
∴f(-m)=-f(m)-16=-10-16=-26.

答案:-26

利用函数奇偶性求函数解 析式 奇偶函数的图象有对称性,根据对称性, 可求另一部分的解析式.
若f(x)是定义在R上的奇函数,当 x<0时,f(x)=x(2-x),求函数f(x)的解析 式.
例2

【思路点拨】 解答本题可将x>0的解析 式转化到x<0上求解.

【解】 法一:∵f(x)是定义在 R 上的 奇函数, ∴f(-x)=-f(x),f(0)=0. 当 x>0 时,-x<0,∴f(x)=-f(-x)= x(2+x). ∴函数 f(x)的解析式为
?x?2+x? ?x>0? ? f(x)=?0 ?x=0? ? ?x?2-x? ?x<0?

.

法二:∵f(x)是 R 上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x),f(0)=0.

令 t=-x,若 x<0,则 t>0,且 x=-t. ∵f(x)=x(2-x)(x<0), ∴f(-t)=-t(2+t), 即-f(t)=-t(2+t). ∴f(t)=t(2+t), ∴当 x>0 时,f(x)=x(2+x). ∴函数 f(x)的解析式为
?x?2+x? ?x>0? ? f(x)=?0 ?x=0? ? ?x?2-x? ?x<0?

.

【名师点拨】

此类问题的一般做法是:

①“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式, x就设在哪个区间内.
②要利用已知区间的解析式进行代入. ③利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x), 从而解出f(x).

互动探究2 若将题设中的“f(x)是奇函数” 改为“f(x)是偶函数,f(0)=0”,其他条件不 变,则f(x)的解析式又是什么?

解:设 x>0,则-x<0, ∴f(x)=f(-x)=-x(2+x), 又 f(0)=0,
?x?2-x? ? ∴f(x)=?0 ?x=0? ? ?-x?2+x?

?x<0? . ?x>0?

变式训练2:已知函数f(x)是定义在R
上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x +1,求: (1)f(0); (2)当x<0时,f(x)的解析式; (3)f(x)在R上的解析式.
解:(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(-0)=-f(0),即f(0)=0.

(2)当x<0时,-x>0,f(-x)=-2(-x)2+ 3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,故 f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,x<0. (3)函数f(x)在R上的解析式为
?-2x2+3x+1,x>0, ? f(x)=?0,x=0, ?2x2+3x-1,x<0. ? 点评:首先设出所求区间上的自变量,利 用奇、偶函数定义域关于原点对称的特点,把 它转化到已知的区间上,代入已知的解析式, 然后再次利用函数的奇偶性求解即可.

函数的奇偶性与单调性的 综合应用 函数的奇偶性是函数定义域内的整体性质, 函数的单调性是定义域内的局部性质,可 根据函数的奇偶性判断对称区间的单调 性.
例3

设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区 间[0,2]上单调递减,若f(m)+f(m-1)>0, 求实数m的取值范围.

【思路点拨】 → f?1-m?<f?m? → 解得m的范围

f?m?+f?m-1?>0 → 列不等式组

【解】 由 f(m)+f(m-1)>0, 得 f(m)>-f(m-1),即 f(1-m)<f(m). 又∵ f(x)在 [0,2]上为减函数且 f(x)在 [- 2,2]上为奇函数, ∴f(x)在[-2,2]上为减函数.

?-2≤1-m≤2 ? ∴?-2≤m≤2 ? ?1-m>m ?-1≤m≤3 ? ?-2≤m≤2 即? ? 1 ?m< 2 ?



.

1 ∴-1≤m< . 2
【名师点拨】本题易丢掉函数的定义域 [-2,2]而出 错.

变式训练3: 已知奇函数y=f(x)定义在(-1,1)上 的减函数,解不等式f(1-x)+f(1-3x)<0. 解:∵y=f(x),x∈(-1,1)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(1-x)+f(1-3x)<0?f(1-x)<-f(1-3x) ?f(1-x)<f(3x-1). 又∵y=f(x)在(-1,1)上是减函数,
?-1<1-x<1 ? ∴f(1-x)<f(3x-1)??-1<1-3x<1? ?1-x>3x-1 ?

?0<x<2 ?0<3x<2 ? ?x<1 ? 2

?0<x<2 ? ?0<x<2 3 ?? ? 1 ?x< ? 2

1 ,∴0<x< . 2

点评:函数单调性的实质是自变量的变化与 函数变化的内在统一性,解答这类题的思路是: 先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含“f” 的式子,然后根据函数的单调性列出不等式(组) 求解.

? 1? 即不等式解集为?x|0<x<2? ? ?

自我挑战3 设定义在[-2,2]上的偶函数g(x), 当x≥0时,g(x)单调递减,若g(1-m)<g(m) 成立,求m的取值范围. 解:∵g(x)在[-2,2]上是偶函数, ∴g(1-m)=g(|1-m|), g(m)=g(|m|).

∵g(1-m)<g(m), ∴g(|1-m |)<g(|m|). 又 g(x)在[0,2]上单调递减,
?-2≤1-m≤2 ? ∴?-2≤m≤2 ? ?|1-m|>|m|

1 ,解得-1≤m< . 2

1 ∴-1≤m< . 2

方法感悟 方法技巧 1.利用奇偶性求对称区间的函数解析式, 先设x在这个区间内,利用-x在已知区间 内而求f(-x),再转化求f(x).(如例2) 2.单调性、奇偶性经常在同一个问题中 出现,其单调性要注意对称区间的变化.

失误防范 1.利用奇偶性求解析式,一般用分段函 数来表示.(如例2) 2.用单调性、奇偶性解决抽象不等式时, 切勿丢掉定义域.(如例3)


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