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2017_2018学年高中数学第一章不等关系与基本不等式1.3平均值不等式二训练北师大版选修4_520180930326

2017_2018学年高中数学第一章不等关系与基本不等式1.3平均值不等式二训练北师大版选修4_520180930326

1.3 平均值不等式(二) 一、选择题 1.设 x、y、z>0,且 x+3y+4z=6,则 x y ·z 的最大值为( A.1 C.3 解析 由 x、y、z>0 及 B.2 D.4 2 3 ) a1+a2+…+an n ≥ a1a2…an(其中 a1>0,…an>0), n ?x+x+y+y+y+4z?6 ? =1. ∴x y z= · ·y·y·y·4z≤?2 2 ? ? 2 2 6 ? ? 2 3 x x 答案 A ?1 ??1 ??1 ? 则 x 的取值范围为( 2.设 a, b, c∈(0, +∞)且 a+b+c=1, 令 x=? -1?? -1?? -1?, ?a ??b ??c ? ? 1? A.?0, ? ? 8? C.[1,8) ) ?1 ? B.? ,1? ?8 ? D.[8,+∞) ?1 ??1 ??1 ? 1-a·1-b·1-c 解析 ∵x=? -1?? -1?? -1?= a b c ?a ?? b ??c ? = (b+c)(c+a)(a+b) 2 bc·2 ca·2 ab ≥ =8, abc abc 当且仅当 a=b=c 时取等号,∴x≥8. 答案 D 1 → → → → → 3.已知|AB|⊥|AC|,|AB|= ,|AC|=t.若点 P 是△ABC 所在平面内的一点,且|AP| t = AB AB ? 4 AC AC → → ,则PB·PC的最大值等于( ) A.13 C.19 解析 建立平面直角坐标系,用坐标法求解. B.15 D.21 → → ∵ AB ⊥AC ,故可以 A 为原点, AB ,AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系 . 不妨设 → ? ? 1? B?0, ?,C(t,0),则AP= ? t? ?0,1? ? t? ? 4(t,0) 1 + t =(4,1), t 故点 P 的坐标为(4,1). 1 PB·PC=?-4, -1?·(t-4,-1)=-4t- +17=-?4t+ ?+17 t ? t? t ? ? ≤-2 4+17=13. 1 1 当且仅当 4t= ,即 t= 时(负值舍去)取得最大值 13. t 2 答案 A 4.已知圆柱的轴截面周长为 6,体积为 V,则下列关系式总成立的是( A.V≥π 1 C.V≥ π 8 解析 设圆柱的底面半径为 r,高为 h, 则由题意得:4r+2h=6,即 2r+h=3, 于是有 V=π r h≤π ·? 2 → → ? 1 ? 1 ? 1? ) B.V≤π 1 D.V≤ π 8 ?r+r+h? =π ?3? =π , ? ?3? ? 3 ? ? ? 3 3 当且仅当 r=h 时取等号. 答案 B 5.如果圆柱的轴截面周长 l 为定值,那么圆柱的体积最大值是( 3 ?l? A.? ? π ?6? 3 ?l? C.? ? π ?4? 解析 l=4r+2h,即 2r+h= , 2 3 ?l? B.? ? π ?3? 1?l?3 D. ? ? π 4?4? ) l V=π r2h≤? 答案 A ?r+r+h? π =?l? π . ? ?6? ? 3 ? ? ? 3 3 x2+x+1 ?1 ? 2 6.在区间? ,2?上,函数 f(x)=x +bx+c (b,c∈R)与 g(x)= 在同一点取相同的 x ?2 ? ?1 ? 最小值,那么 f(x)在区间? ,2?上的最大值是( ?2 ? A. 13 4 B.4 D. 5 4 ) C.8 1 解析 g(x)=x+ +1 在 x=1 时,取最小值 3. x ∴b=-2,c=4. 2 答案 B 二、填空题 7.函数 y= x2 x +9 4 (x≠0)有最大值______,此时 x=______. 2 解析 ∵x≠0,∴x >0. ∴y= = x +9 4 x2 1 9 ≤ 1 x2+ 2 2 x x x2· 2 x 1 = , 9 6 9 2 4 2 当且仅当 x = 2,即 x =9,x =3,x=± 3时取等号, 1 即当 x=± 3时,ymax= . 6 答案 1 6 ± 3 3 8.建造一个容积为 8 m ,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别 为 180 元和 80 元,那么水池的最低总造价为________. 4 4 解析 设池长 x m, 则池宽 m, 水池总造价 y=180×4+2×2× ×80+2×2×x×80=720 x x ?4 ? +320·? +x?≥720+320×4=2 000(元),当且仅当 x=2 时“=”成立. ?x ? 答案 2 000 元 三、解答题 3 2 2 2 9.在△ABC 中,如果三内角满足:sin A+sin B=5sin C,求证:sin C≤ . 5 证明 在△ABC 中,由正弦定理,得 = =2R. sin A sin B sin C = 又∵sin A+sin B=5sin C,∴a +b =5c . 由余弦定理,得 cos C= 2 2 a2+b2-c2 4c2 4c 4c 4 = ≥ 2 2= 2= . 2ab 2ab a +b 5c 5 2 2 2 2 2 2 a b c 4 π 3 由 0<C<π 且 cos C≥ ,得 0<C< ,∴sin C≤ . 5 2 5 10.某城建公司承包旧城拆建工程, 按合同规定在 4 个月内完成.若提前完成, 每提前一天可 获 2 千元奖金,但这要追加投入费用;若延期则每延期一天将被罚款 5 千元.追加投入的 费用按以下关系计算:6x+ 784 x+3 -118(千元),其中 x 表示提前完工的天数,试问提前多 少天,才能使此公司获得最大附加效益?(附加效益=所获奖金-追加费用). 3 解 设该城建公司获得的附加效益为 y 千元, 则由题意,得 -118?=118-?4x+ y=2x-?6

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