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湖北市宜昌市夷陵中学2015-2016学年高一3月月考数学试题扫描版含答案_图文

湖北市宜昌市夷陵中学2015-2016学年高一3月月考数学试题扫描版含答案_图文

夷陵中学高一年级 3 月份阶段性检测

数学试卷(答案)

一、选择题

BDBBAC DABACA

二、填空题

? ? 36
85 4

2, 3

?1, 4?

三、解答题

? ? ? ? ? ? ? ? 17.已知两个向量 a, b 满足 a ? 3b ? 7a ? 5b , a ? 4b ? 7a ? 2b ,

(Ⅰ)求证: a ? b ;

(Ⅱ)求向量 a, b 的夹角? .

?

? ? ? ? 解:(Ⅰ)由

? ?

a ? 3b

? ? ? ? ?? a ? 4b

7a ? 5b 7a ? 2b

? ?

0 0



??7a2 ?2 ??7a

2
?15b ?16a b ? 0
2
? 8b ? 30a b ? 0



解得

2
b

?

2a

b



2
a

?

2a

b

所以 a ? b

……4 分 ……6 分

(Ⅱ)由 cos? ? a b ? 1 ab 2
得 ? ?? 3

……8 分 且? ??0,? ?

……9 分

……10 分

18.已知 f ? x? ? cos4 x ? 2 3 sin x cos x ? sin4 x ,

(Ⅰ)求 f ? x? 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ? x? 的单调增区间;

(Ⅲ)若

x

?

???0,

? 2

? ??

,求

f

?

x?

的最大值和最小值.

? ?? ? 解:(Ⅰ) f ? x? ? cos2 x ? sin2 x cos2 x ? sin2 x ? 3 sin 2x

? cos 2x ?

? 3 sin 2x ? 2???sin 2x

3 2

? cos 2x

1? 2 ???

?

2

sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

f ? x? 的最小正周期为?

……4 分

(Ⅱ)由? ? ? 2k? ? 2x ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z解得 ? ? ? k? ? x ? ? ? k? , k ? Z

2

62

3

6

f

?

x?

的单调增区间为

????

? 3

?

k?

,

? 6

?

k?

? ??

?k

?

Z

?

……8 分

(Ⅲ)由

x

?

???0,

? 2

? ??

,

则2x

?

? 6

?

?? ?? 6

,

7? 6

? ??

,

则sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

?

????

1 2

,1???

f ?x? ? 2, f ?x? ? ?1

max

min

……12 分

? ? 19.设 ABC 的面积为 S ,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c , 4S ? 3 b2 ? c2 ? a2 ,

(Ⅰ)求 ?A ; (Ⅱ)求 sin( A ?10?)[1? 3 tan( A ?10?)] . 解:(Ⅰ)依题知, 4 1 bc sin A ? 3 2bc cos A ,即 tan A ? 3
2 所以 A ? 60

……6 分

? ? (Ⅱ)原式 ? sin 70 1? 3 tan 50 ? sin 70 cos 50 ? 3 sin 50 ……8 分 cos 50

? sin 70 ?2sin 20 ? cos 20 ?2sin 20 ? ? sin 40 ? ?1……12 分

cos 50

sin 40

sin 40

20.某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知该
厂生产这种仪器的次品率 P 与日产量 x (件)之间满足关系:

P

?

?
?? ?
? ??

1 96- x 2 (x ? 3

(1 ? x ? 94, x 94, x ? N? ).

?

N?

),

已知每生产一件合格的仪器可盈利 A 元,但每生产一件次品将亏损 A 元,厂方希望定出适 2
当的日产量.

(Ⅰ)试判断:当日产量 x (件)超过 94 件时,生产这种仪器能否盈利?说明理由;

(Ⅱ)当日产量 x (件)不超过 94 件时,试将生产这种仪器每天的盈利额T (元)表示成

日产量 x (件)的函数;

(Ⅲ)为了获得最大利润,日产量 x 应为多少件? 解:(Ⅰ)当 x >94 时, P ? 2 ,
3

?每日生产的合格品为 1 x 件,次品为 2 x 件,

3

3

?合格品共可盈利 1 x A,次品共亏损 2 x ? A ? 1 xA. .

3

3 23

? 1 x A- 1 x A=0, 33

?盈亏相抵,即日产量超过 94 件时,不能盈利

(Ⅱ)当 1 ? x ? 94 时, P ? 1 , 96 ? x

?每日生产的合格品为 x(1 ? 1 ) 件,次品为 x 件,

96 ? x

96 ? x

?T= x(1? 1 )A ? x ? A 96 ? x 96 ? x 2

=

??x ?

?

3x 2(96 ?

x)

? ? ?

A(元)(1

?

x

?

94, x

?

N?

)

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知,日产量超过 94 件时,不能盈利,

……3 分 ……7 分



1?

x

?

94 时,T

?(x

?

3 2

?

144 )A = 96 ? x

?195 ?? 2

?

(96

?

x)

?

144 96 ?

x

? ??

A

,……9



? x ? 96,?96 ? x ? 0.

?T

?

?195

? ?

2

?

2

(96

?

x)

?

144 96 ? x

?
? ?

A

?

147 2

A.

当且仅当 96-x ? 144 , 即 x =84(件)时等号成立 96 ? x

所以要获得最大利润,日产量应为 84 件

……11 分 ……12 分

21.已知函数 f (x) ? 2sin(?x) ,其中常数? ? 0 ,
(Ⅰ)若 y ? f (x) 在[? ? , 2? ] 上单调递增,求? 的取值范围; 43
(Ⅱ)令? ? 2 ,将函数 y ? f (x) 的图像向左平移 ? 个单位,再向下平移 1 个单位,得到函
6 数 y ? g(x) 的图像,区间[a, b]( a,b ? R 且 a ? b )满足: y ? g(x) 在[a, b]上至少含

有 60 个零点,在所有满足上述条件的[a, b]中,求 b ? a 的最小值.

解:(Ⅰ)因为函数 y=f(x)在

上单调递增,且ω >0,

所以 ? ? 2? ,且 ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? 3 .

2? 3

2? 4

4

……4 分

(Ⅱ)ω =2,f(x)=2sin2x,将函数 y=f(x)的图像向左平移 个单位,再向下平移 1 个单位 后

得到 y=2sin

-1 的图像,所以 g(x)=2sin

-1,

……5 分



g

?

x?

?

0, 得 sin

? ??

2x

?

? 3

? ??

?

1 2

,即x

?

?

? 12

?

k? 或x

?

? 4

?

k?

?k

?

Z

?

,……7



所以相邻两个零点间的距离为 或 ,要求 b ? a 的最小值,故 a, b 均为零点.……8 分

则 b ? a 的最小值为 88? . 3

……12 分

22.对于函数 f ? x ? ,若在定义域内存在实数 x 满足 f ??x? ? ? f ? x? ,则称 f ? x ? 为“限制奇
函数”,
(Ⅰ)试判断 f ? x? ? x2 ? 2x ? 4 是否为“限制奇函数”?并说明理由;

(Ⅱ)设 f ? x? ? 2x ? m 是定义在??1, 2? 上的“限制奇函数”,求实数 m 的取值范围;

(Ⅲ)设 f ? x? ? 4x ? m 2x?1 ? m2 ? 3 是定义在 R 上的“限制奇函数”, 求实数 m 的取值范

围.

解:(Ⅰ) x ? ?2 ,是“限制奇函数”;

……3 分

(Ⅱ)

????

5 4

,

?1???

……7 分

(Ⅲ)1? 3 ? m ? 2 2

……12 分


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