湖北市宜昌市夷陵中学2015-2016学年高一3月月考数学试题扫描版含答案_图文

夷陵中学高一年级 3 月份阶段性检测

数学试卷(答案）

一、选择题

BDBBAC DABACA

二、填空题

? ? 36
85 4

2, 3

?1, 4?

三、解答题

? ? ? ? ? ? ? ? 17.已知两个向量 a, b 满足 a ? 3b ? 7a ? 5b ， a ? 4b ? 7a ? 2b ，

（Ⅰ）求证： a ? b ；

（Ⅱ）求向量 a, b 的夹角? .

?

? ? ? ? 解：（Ⅰ）由

? ?

a ? 3b

? ? ? ? ?? a ? 4b

7a ? 5b 7a ? 2b

? ?

0 0

得

??7a2 ?2 ??7a

2
?15b ?16a b ? 0
2
? 8b ? 30a b ? 0

，

解得

2
b

?

2a

b

，

2
a

?

2a

b

所以 a ? b

……4 分 ……6 分

（Ⅱ）由 cos? ? a b ? 1 ab 2
得 ? ?? 3

……8 分 且? ??0,? ?

……9 分

……10 分

18.已知 f ? x? ? cos4 x ? 2 3 sin x cos x ? sin4 x ，

（Ⅰ）求 f ? x? 的最小正周期； （Ⅱ）求 f ? x? 的单调增区间；

（Ⅲ）若

x

?

???0,

? 2

? ??

，求

f

?

x?

的最大值和最小值.

? ?? ? 解：（Ⅰ） f ? x? ? cos2 x ? sin2 x cos2 x ? sin2 x ? 3 sin 2x

? cos 2x ?

? 3 sin 2x ? 2???sin 2x

3 2

? cos 2x

1? 2 ???

?

2

sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

f ? x? 的最小正周期为?

……4 分

（Ⅱ）由? ? ? 2k? ? 2x ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z解得 ? ? ? k? ? x ? ? ? k? , k ? Z

2

62

3

6

f

?

x?

的单调增区间为

????

? 3

?

k?

,

? 6

?

k?

? ??

?k

?

Z

?

……8 分

（Ⅲ）由

x

?

???0,

? 2

? ??

,

则2x

?

? 6

?

?? ?? 6

,

7? 6

? ??

,

则sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

?

????

1 2

,1???

f ?x? ? 2, f ?x? ? ?1

max

min

……12 分

? ? 19.设 ABC 的面积为 S ，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ， 4S ? 3 b2 ? c2 ? a2 ，

（Ⅰ）求 ?A ； （Ⅱ）求 sin( A ?10?)[1? 3 tan( A ?10?)] . 解：（Ⅰ）依题知， 4 1 bc sin A ? 3 2bc cos A ，即 tan A ? 3
2 所以 A ? 60

……6 分

? ? （Ⅱ）原式 ? sin 70 1? 3 tan 50 ? sin 70 cos 50 ? 3 sin 50 ……8 分 cos 50

? sin 70 ?2sin 20 ? cos 20 ?2sin 20 ? ? sin 40 ? ?1……12 分

cos 50

sin 40

sin 40

20.某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知该
厂生产这种仪器的次品率 P 与日产量 x （件）之间满足关系：

P

?

?
?? ?
? ??

1 96－ x 2 (x ? 3

(1 ? x ? 94, x 94, x ? N? ).

?

N?

),

已知每生产一件合格的仪器可盈利 A 元，但每生产一件次品将亏损 A 元，厂方希望定出适 2
当的日产量.

（Ⅰ）试判断：当日产量 x （件）超过 94 件时，生产这种仪器能否盈利？说明理由；

（Ⅱ）当日产量 x （件）不超过 94 件时，试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示成

日产量 x （件）的函数；

（Ⅲ）为了获得最大利润，日产量 x 应为多少件？ 解：（Ⅰ）当 x >94 时， P ? 2 ，
3

?每日生产的合格品为 1 x 件，次品为 2 x 件，

3

3

?合格品共可盈利 1 x A,次品共亏损 2 x ? A ? 1 xA. .

3

3 23

? 1 x A- 1 x A=0, 33

?盈亏相抵，即日产量超过 94 件时，不能盈利

（Ⅱ）当 1 ? x ? 94 时， P ? 1 ， 96 ? x

?每日生产的合格品为 x(1 ? 1 ) 件，次品为 x 件，

96 ? x

96 ? x

?T= x(1? 1 )A ? x ? A 96 ? x 96 ? x 2

=

??x ?

?

3x 2(96 ?

x)

? ? ?

A(元）(1

?

x

?

94， x

?

N?

)

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，日产量超过 94 件时，不能盈利，

……3 分 ……7 分

当

1?

x

?

94 时，T

?（x

?

3 2

?

144 )A ＝ 96 ? x

?195 ?? 2

?

(96

?

x)

?

144 96 ?

x

? ??

A

，……9

分

? x ? 96，?96 ? x ? 0.

?T

?

?195

? ?

2

?

2

(96

?

x)

?

144 96 ? x

?
? ?

A

?

147 2

A.

当且仅当 96－x ? 144 , 即 x =84(件)时等号成立 96 ? x

所以要获得最大利润，日产量应为 84 件

……11 分 ……12 分

21.已知函数 f (x) ? 2sin(?x) ，其中常数? ? 0 ，
（Ⅰ）若 y ? f (x) 在[? ? , 2? ] 上单调递增，求? 的取值范围； 43
（Ⅱ）令? ? 2 ，将函数 y ? f (x) 的图像向左平移 ? 个单位，再向下平移 1 个单位，得到函
6 数 y ? g(x) 的图像，区间[a, b]（ a,b ? R 且 a ? b ）满足： y ? g(x) 在[a, b]上至少含

有 60 个零点，在所有满足上述条件的[a, b]中，求 b ? a 的最小值．

解：（Ⅰ）因为函数 y=f(x)在

上单调递增,且ω >0,

所以 ? ? 2? ,且 ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? 3 ．

2? 3

2? 4

4

……4 分

（Ⅱ）ω =2,f(x)=2sin2x,将函数 y=f(x)的图像向左平移 个单位,再向下平移 1 个单位 后

得到 y=2sin

-1 的图像,所以 g(x)=2sin

-1,

……5 分

令

g

?

x?

?

0, 得 sin

? ??

2x

?

? 3

? ??

?

1 2

,即x

?

?

? 12

?

k? 或x

?

? 4

?

k?

?k

?

Z

?

,……7

分

所以相邻两个零点间的距离为 或 ，要求 b ? a 的最小值，故 a, b 均为零点．……8 分

则 b ? a 的最小值为 88? ． 3

……12 分

22.对于函数 f ? x ? ，若在定义域内存在实数 x 满足 f ??x? ? ? f ? x? ，则称 f ? x ? 为“限制奇
函数”，
（Ⅰ）试判断 f ? x? ? x2 ? 2x ? 4 是否为“限制奇函数”？并说明理由；

（Ⅱ）设 f ? x? ? 2x ? m 是定义在??1, 2? 上的“限制奇函数”，求实数 m 的取值范围；

（Ⅲ）设 f ? x? ? 4x ? m 2x?1 ? m2 ? 3 是定义在 R 上的“限制奇函数”， 求实数 m 的取值范

围．

解：（Ⅰ） x ? ?2 ，是“限制奇函数”；

……3 分

（Ⅱ）

????

5 4

,

?1???

……7 分

（Ⅲ）1? 3 ? m ? 2 2

……12 分