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河南省安阳市2018-2019学年高一数学上学期期末考试试题(含答案)

河南省安阳市2018-2019学年高一数学上学期期末考试试题(含答案)

河南省安阳市 2018-2019 学年高一数学上学期期末考试试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 第 I 卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的)
x 1.已知集合 M ={x|x<3},N={x | 2 ?

1 },则 M ∩N 等于( ) 2
D 、 {x| - 1 < x < 3} 、2、 函数

A.?

B.{x|0<x<3}

C 、 {x|1 < x < 3} ( )

f ( x) ?

的定义域为 3? x ? l g ( x ? 1)

A. [?1,3)

B. (?1,3)

C. (?1,3]
( ) D. 0

D. [?1,3]

? x 2 ? 1, x ? 0 3、已知 f ( x) ? ? 则 f (3) ? f (?3) 的值为 ? f ( x ? 2), x ? 0

A. 12

B. 10

C. 5

4.如图,网格纸上小正方形的边长为 1 , 用粗线画出了某多面体的三视图, 则该多面体最长的棱长为 A、5 B、6 C、7 D、8 ( )

?1 ? 5、 若幂函数 y ? f ? x ? 的图像经过点 ? ,3 ? ,则该幂函数的解析式为( ?3 ?



A. y ? x?1

B. y ? x 2

1

C. y ? x

?

1 3

D. y ? x 3

6 、 已知 y1 ? a x , y2 ? b x 是指数函数 , y3 ? x c , y4 ? x d 是幂函数 , 它们的图象如右图所示 , 则

a, b, c, d 的大小关系为(
A、 a ? b ? c ? d

) B、 c ? b ? a ? d

C、

b?a?c?d

D、 c ? a ? b ? d

7、 设 m, n 是两条不同的直线, ?,? 是两个不同的平面,则下列命题正确的是 ( A、若 m ? ?,n ? ? , m ? n, 则 ? ? ? C.若 m ∥ ? , ? ? ? ,则 m ? ? B、若 m ∥ ? , n ∥ m ,则 n ∥ ? D、若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ? ?



8、 在正方体 ??CD ? ?1?1C1D1 中,异面直线 ?1C 与 ?1C1 所成的角为( ) A. 60 C. 30 9、 今有一组数据如下: t v 1、99 1、5 3、0 4、04 4、0 7、5 5、1 12 6、12 18、01 B. 45 D. 90

在以下四个模拟函数中,最合适这组数据的函数是( A. v ? log 2 t B. v ? log 1 t
2



C. v ?

t 2 ?1 2

D. v ? 2t ? 2

10 、已知正三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ? PC ? 1 ,且 PA, PB, PC 两两垂直,则该三棱锥外接球 的表面积为 ( ) A、

3 ? 4

B、

3 ? 2

C、 12?

D、 3?

A1 B1 D

C1

11、 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

D 是棱 AA1 的中点,
平面 BDC1 分此棱柱为上下两部分, 则这上下两部分体积的比为( A、 2 : 3 C、 3 : 2 ) B、 1 : 1 D、 3 : 4
2

A

C

B

12、已知函数 f (x) ? 3 ? 2 x , g (x) ? x , 构造函数 F (x) ? ? 那么函数 y ? F (x) A、 有最大值 1,最小值 ?1 ( )

? g ( x) , f ( x) ? g ( x) , ? f ( x) , g ( x) ? f ( x)

B、 有最小值 ?1 ,无最大值

C、 有最大值 1,无最小值 第 II 卷(非选择题 共 90 分)

D.有最大值 3,最小值 1

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分. )

2 在区间 [2,6] 上的值域为 x ?1 14、 设函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点为 x0 ,则不等式 x ? x0 的最大整数解是
13、函数 y ? 15、 由 y ? x 和 y ? 3 所围成的封闭图象,绕 y 轴旋转一周,则所得旋转体的体积为 16、 、下列五个函数① f ( x) ? x ;② f ( x) ? x 2 ;③ f ( x) ? x3 ;④ f ( x) ? x ;⑤ f ( x) ? 其中在 (0, ??) 上同时满足条件(1)
1 、 x



f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? 0 ,(2) ? f ( 1 2 ) 的函数是 __ x2 ? x1 2 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) ? log2 ( x ? 1) ,(1)求函数 y ? f ( x ) 的零点; (2) 若 y ? f ( x ) 的定义域为 [3,9] , 求 f ( x ) 的最大值与最小值 18、 (本小题满分 12 分)若非空 集合 A ? {x | x 2 ? ax ? b ? 0} ,集合 B ? ?1,2? ,且 A ? B , 求实 .. 数 a 、 b 的取值. S 19、 (本小题满分 12 分) 、如图,圆锥 SO 中, AB 、 CD 为底面圆的两条直径,

AB CD ? O ,且 AB ? CD , SO ? OB ? 2 ,P 为 SB 的中点.
(1)求证: SA / / 平面PCD ; (2)求异面直线 SA 与 PD 所成角的正切值. C A O D

P

B

20、 (本小题满分 12 分)已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 a , b 的值;

2x ? a 是奇函数 2x ? b

(Ⅱ)判断 f ( x) 在 R 上的单调性,并用单调性的定义加以证明; 21、 (本小题满分 12 分)已知函数 y ?

1 x x log2 ? log2 ( 2 ? x ? 8) 2 4 2

(1)令 t ? log2 x ,求 y 关于 t 的函数关系式及 t 的取 值范围;

(2)求函数 y 的值域,并求函数取得最小值时的 x 的值、

O、E 分 别 为 BD、BC 的 中 22 、( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 四 面 体 ABCD 中 ,A
点, CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? 2 . (1 )求证: AO ⊥平面 BCD ; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦; (3)求点 E 到平面 ACD 的距离.

O B

D E C

参考答案 一、选择题:DCABA, BDACD ,BC 二、填空题: 13、[

2 ,2 ] 5

14、2 15、 9? 16、②③ 三、解答题: 17、 (1)令 f ( x ) ? log2 ( x ? 1) =0,得 x-1=1,x=2, 所以函数的零点是 2、 ( 2)因为函数 f ( x ) ? log2 ( x ? 1) 在[3,9]上是增函数, 所以 x=3 时, ymin =1, x=9 时, ymax =3、 18、A={1} A={2} a=-2,b=1 a=-4,b=1 、......10 分 ......5 分

A={1,2} a=-3,b=2 19、证明: (1)连接 PO,因为 P 为 SB 的中点,OA=OB,所以 PO SA ………2 分

SA ? 平面PCD, PO ? 平面PCD ……… ……………………3 分

? SA 平面PCD ………………………………………4 分
(2)

SA PO

??OPD就是异面直线SA与PD所成的角………………6 分
? SO ? CD CD ? AB, SO ? AB ? O ?CD ? PO

SO ? 底面圆O ?CD ? 平面SAB

PO ? 平面SAB

………………………………………9 分 在 Rt ?POD 中, OD ? 2,OP ?

1 SA ? 2 ……………………………10 分 2

设 ?OPD =?,则 tan ? ?

OD 2 ? ? 2 OP 2

………………………

20、(Ⅰ)∵ f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,
?1 ? a ?0 ? ? f (0) ? 0 ?1 ? b ∴? , ? ?1 ? f (?1) ? ? f (1) ? 2 ? a ? ? 2 ? a ? 2?b ? 2 ?1 ? b
? a ? ?1 解得 ? ?b ? 1

经检验得: a ? ?1 , b ? 1 时 f ( x) 为奇函数 ∴ a ? ?1 , b ? 1 、 (Ⅱ)∵ a ? ?1 , b ? 1 ,∴ f ( x) ? 函数 f ( x) ? 1 ?

2x ? 1 2 ?1? x x 2 ?1 2 ?1

2 在 R 上单调递增 2 ?1
x

证明: 设 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (1 ? ∵ x1 ? x2 ∴ 2 x1 ? 2 x2 ,∴ 2 x1 ? 2 x2 ? 0 ,又∵ 2 x2 ? 1 ? 0 , 2 x1 ? 1 ? 0
2(2 x1 ? 2 x2 ) ?0 ∴ x2 (2 ? 1)(2 x1 ? 1) 2(2 x1 ? 2 x2 ) 2 2 ) ? (1 ? x2 ) ? x2 (2 ? 1)(2 x1 ? 1) 2 ?1 2 ?1
x1

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴函数 f ( x) 在 R 上单调递增、

21、 、解: (Ⅰ)

y?

1 x x 1 ? log 2 ? log 2 ? ? log 2 x ? log 2 4 ?? log 2 x ? log 2 2 ? 2 4 2 2

?y ?

1 ? log 2 x ? 2 ?? log 2 x ? 1? 2 1 1 2 3 令 t ? log 2 x, 则 y ? ? t ? 2 ?? t ? 1? ,即 y ? t ? t ? 1 2 2 2


2 ? x ? 8, ?1 ? log2 x ? 3 ,即 1 ? t ? 3

(Ⅱ)由(Ⅰ) y ? 当t ?

1? 3? 1 ? t ? ? ? ,1 ? t ? 3 ,数形结合得 2? 2? 8

2

3 1 时, ymin ? ? ,当 t ? 3 时, ymax ? 1 2 8

? 1 ? ? 函数的值域为 ? ? ,1? ? 8 ?
当 ymin ? ? 22、 I)证明:连 结 OC

1 3 3 时, t ? ,即 log 2 x ? ,? x ? 2 2 8 2 2

、 、 、 、 、 、 、10 分

BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD.

BO ? DO, BC ? CD,?CO ? BD.
在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. 而

A M O B D E C

AC ? 2, ? AO2 ? CO2 ? AC 2 ,
o

??AOC ? 90 , 即 AO ? OC.
BD OC ? O,

? AO ? 平面 BCD ………… ……………………………………(4 分)
(II)解:取 AC 的中点 M ,连结 OM 、ME、OE , 由 E 为 BC 的中点知 ME // AB,OE // DC。

? ?OEM 就是异面直线 AB 与 CD 所成的角或补角
在 ?OME 中, EM ?

1 2 1 AB ? , OE ? DC ? 1, 2 2 2
1 AC ? 1, 2

OM 是直角 ?AOC 斜边 AC 上的中线,? OM ?

1 EM 2 …………………………………(8 分) ? cos ?OEM ? 2 ? OE 4
(III)解: 设点 E 到平面 ACD 的距离为 h .

VE ? ACD ? VA?CDE , 1 1 ? h ? S?ACD ? AO ? S?CDE . 3 3
在 ?ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ? 2,

A

1 2 7 ? S?ACD ? ? 2 ? 22 ? ( )2 ? . 2 2 2
而 AO ? 1, S?CDE ?

O B

D E C

1 3 2 3 ? ?2 ? , 2 4 2

3 AO ? S ?CDE 1? 2 21 ?h ? ? ? . S ?ACD 7 7 2

? 点 E 到平面 ACD 的距离 为

21 . ………… 7


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