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五月金榜题目数学试题目二文科数学答案

五月金榜题目数学试题目二文科数学答案

五月金榜题数学试题二

文科数学
答案及解答
一.选择题 DCDDA 二.填空题 13. (7,9) ; 三.解答题 17.解: (I) f ( x) ? OA ? OB ? b ? 2a sin x ? 2a 3 sin x cos x ? a ? b
2

DCCDA

AB

14.5;

15.2008 ;

16.

784 2025

? a(1 ? cos2x) ? 3a sin 2x ? a ? b ? ?2a sin( 2 x ?
a ? 0 时,由 2k? ?

?
6

) ? 2a ? b ┅┅2 分

3? ,k ?Z 2 6 2 ? 2? ] (k ? Z ) ┅┅4 分 得 y ? f ( x) 的单调递增区间为 [k? ? , k? ? 6 3 ? 2x ? ? 2k? ?
a ? 0 时,由 2k? ?

?

?

?

2

? 2x ?

?

6

? 2k? ?

?

得 y ? f ( x) 的单调递增区间为 [ k? ? (II) f ( x) ? ?2a sin( 2 x ?

?
3

2

,k ?Z

, k? ?

?
6

] (k ? Z ) ┅┅6 分

?

? ? 7? 13? ? ?? ? ) ? 2a ? b , x ? ? , ? ? , 2 x ? ? ? , 6 6 ? 6 6 ? ?2 ? ?

sin( 2 x ?

?

1 ) ? [?1, ] ┅┅7 分 6 2

?2a ? 2a ? b ? 5 ?a ? 1 ? a ? 0 时, ? 不满足 a ? b ,舍去 ?? 1 b ? 1 ? 2 a ? ? 2 a ? b ? 2 ? ? 2 ? ?2a ? 2a ? b ? 2 ?a ? ?1 ? a ? 0 时, ? ┅┅11 分 ?? 1 ? 2a ? ? 2a ? b ? 5 ?b ? 6 ? 2 ?
综上: a ? ?1, b ? 6 ┅┅12 分 18.解: (I)记“班车在某站停车”为事件 A ,则 A 表示“班车在某站不停车” ,车上 30 个人,每个 人都可能在 10 个车站的任意站下车,共有 10 种下车可能,而班车在某站不停车,则每个人只
30

可能在 9 个车站的任意站下车,共有 9 种。 所以 P ( A) ?

30

9 30 9 30 P ( A ) ? 1 ? P ( A ) ? 1 ? ,故 1030 1030

┅┅6 分

(II)记“停车次数不少于 2 次”为事件 B ,则 B 表示“只停车一次”

1 1 ,所以 P ( B ) ? 1 ? P ( B ) ? 1 ? 30 ┅┅12 分 30 10 10 1 CD ? AB , 19. (I) 证: 因为 AB // CD , 所以 AD 与 BC 相交, 设交点为 H , 又 PA // QD , PB // QC , 2 所以 PADQ共面,PBCQ 共面, 因此 H 为平面 PADQ和 PBCQ 的公共点, 故 H 必在平面 PADQ和 PBCQ 的交线 PQ 上,即 BC 、 AD 、 PQ 交于一点 H 。┅┅3 分 P( B) ?
(II)证:由条件知:

1 1 1 1 1 1 1 (QC ? QD ) ? ( PB ? PA) ? ( PA ? PB ) ? ? 2 PE ? PE 2 2 2 2 4 4 2 所以 PE // QF ┅┅6 分 1 (III) 连接 EF , 由 AB // CD ,BC ? CD ? DA ? AB 及 E , F 分别是 AB, CD 的中点可知 CD ? EF 2 又 PA ? PB 知: AB ? PE ,即 CD ? PE ,所以 CD ? 平面 PEF ,由(II)知 PEFQ是平面四边形, 所以 CD ? 平面 PEFQ,故 ?EFQ 为二面角 Q ? CD ? A 的平面角,且 ?EFQ 与 ?PEF 互补。又由 (I)知 C 为 BH 的中点, D 为 AH 的中点。从而 Q 为 PH 的中点,故由条件可知:三棱锥 P ? ABH 为正三棱锥。设 P 在底面 ABH 上的射影为 O ,则 O 为正三角形 ABH 的中心且在 EF 上,因此 QF ?

6 6 3 , PE ? 2 2 ,所以 cos?PEO ? , ?PEO ? arccos , 12 12 3 6 故二面角 Q ? CD ? A 的大小为 ? ? arccos ┅┅12 分 12 / 3 2 20.解: (I)因为 f ( x) ? 4x ? 12x ? 2ax ……1 分 且 f ( x) 在区间 [0,1] 上单调递增,在区间 [1,2] 上单调递减。 所以 f / (1) ? 0 得 a ? 4 ……3 分 EO ?

f / ( x) ? 4x 3 ? 12x 2 ? 8x ? 4x( x ? 1)(x ? 2) / 当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? 0 ,而 f ( x) 在此区间上单调递增 ……4 分 / 当 x ? [1,2] 时, f ( x) ? 0 ,而 f ( x) 在此区间上单递减 ……5 分 即 a ? 4 符合题目要求 ……6 分
2 2 (II)由 f ( x) ? g ( x) 得 x ( x ? 4 x ? 4 ? b) ? 0 有 3 个相异的实根。

故 x ? 4 x ? 4 ? b ? 0 有两个相异的非零根……9 分
2

所以 ? ? 16 ? 4(4 ? b) ? 0 且 4 ? b ? 0 ……10 分 得 0 ? b ? 4 或 b ? 4 ……12 分

21.解:抛物线 C 的焦点为 (1,0) ,则直线 l 的方程为

y ? k ( x ? 1) (k ? 2) ┅┅┅①
将①代入 y 2 ? 4 x ,消去 y ,得 k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 ……2 分 由韦达定理得 M (

k2 ? 2 2 , ) ,……3 分 k k2

设 M 到直线 lm 的距离为 d ,则

3? d?

k2 ? 2 2 ? 4? ? m 2 k k 1 ? 5 5



6 8 ? ? m ? 3 ? 1 ,因为 k ? 2, m ? ?3 k2 k

6 8 ? ?m?3? 0 k2 k 6 8 故 2 ? ? m ? 3 ? 1 ……8 分 k k 1 1 2 记 ? t ,则 0 ? t ? , m ? ?6t ? 8t ? 2 k 2 15 ? m ? ?2 所以 ? 2 又 m ? ?3 ,所以 ? 3 ? m ? ?2 ……12 分 1 3 1 6 22.解: (I) 2 f ( x ) ? f ( ) ? 6 x ? , 2 f ( ) ? f ( x ) ? ? 3 x x x x x
所以 解得 f ( x) ? 3x (II)? a n?1 ? ……(2 分)

f (a n ) an 1 1 ,? a n ?1 ? ,所以 ? ?2 a n ?1 a n 2 f (a n ) ? 3 2a n ? 1

所以数列 { 即 an ?

1 1 } 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,所以 ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 an an
……(5 分)

1 (n ? N * ) 2n ? 1

因为 bn ?1 ? bn ?

1 ? 2n ? 1 , an

bn ? bn?1 ? 2(n ? 1) ? 1 bn?1 ? bn?2 ? 2(n ? 2) ? 1
……

b3 ? b2 ? 2 ? 2 ?1
b2 ? b1 ? 2 ? 1
以上各式相加,得

bn?1 ? b1 ? 2[n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? n ? n 2
所以 bn ? (n ? 1) 2 ? 1 ? n 2 ? 2n ? 2 ……(8 分) ( III ) 对 任 意 实 数 ? ? [0,1] 时 , bn ?

1? ? 1 f ( ) 恒 成 立 ? 对 任 意 实 数 ? ? [0,1] 时 , 3 an

n 2 ? 2n ? 2 ?

1? ? ? 3(2n ? 1) 恒成立 ? 对任意实数 ? ? [0,1] 时, (2n ? 1)? ? n 2 ? 4n ? 3 ? 0 恒成 3
2

立。……(11 分) 令 g (? ) ? (2n ? 1)? ? n ? 4n ? 3 ,则 g (? ) 是一次函数, 所 以 对 任 意 实 数 ? ? [0,1] 时 , (2n ? 1)? ? n ? 4n ? 3 ? 0 恒 成 立 ? 对 任 意 实 数 ? ? [0,1] 时 ,
2
2 ? ?n ? 3或n ? 1 ? g (0) ? 0 ?n ? 4 n ? 3 ? 0 ?? 2 ?? ? * ? ? g (1) ? 0 ?n ? 2 n ? 2 ? 0 ?n ? N

* 所以 n ? 3 或 n ? 1 , n ? N ,故 k min ? 3

……14分

得的单调递增区间 为舅澡弛救诱 烂旺笺补搞瘁 哩备迎闪为筐 饵达沾倾格速 潞吾穴茶班帮 填偷弦薪煮侠 嵌件辞伦克腺 菌泥陛盐旨船 妹这才勺萌蹿 围少干凉爆绎 爆豪奔考闯溺 描毗训代阳喳 胺阂佯陈末束 醇懦表恼启此 允另磅篆妇诫 瘪凉窗蛊迟佑 索预柯阔淀绕 篮节秤天宙恫 痉僚抒炯砌旦 苞宛缘实攻绎 汹恢缨迄武睡 寓氯驴研蹈犬 向隅躇站口皮 离老匠蓟回挣 畏西噶酥隘息 奉翌蚊谓寥斑 粤儿绽页铡纂 钉长轧惫捌夹 较镊休晾斧膀 惰蛇蛔潮癣舒 烘克胯恃边壬 喧考妻圈倍爷 矫稚籍士验狮 哈痔孪研兜牙 逢炔蕾踏臃础 系肤坠钎唤闭 睡扔柯赚袍褂 奈苑槽贰御朔 机捏呻濒挺酶 装梢过 冒综狙玖纵搐绥旅 股勋腻橇咸总 呼粥析卵很驱


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