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2019-2020学年高一数学人教A版必修1练习:3.2.1 几类不同增长的函数模型 Word版含解析

2019-2020学年高一数学人教A版必修1练习:3.2.1 几类不同增长的函数模型 Word版含解析

3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
课后篇巩固提升

基础巩固

1.如果某工厂 12 月份的产量是 1 月份产量的 7 倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率是(  )                 

7
A.11

7
B.12

12
C.

7-1

11
D.

7-1

解析设月平均增长率为 x,1 月份的产量为 a,则有 a(1+x)11=7a,则 1+x=11 7,故 x=11 7-1.

答案 D

2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%,要增长到原来的 x 倍,需经过 y 年,则函数 y=f(x)的图象

大致是(  )

解析设该林区的森林原有蓄积量为 a,由题意知 ax=a(1+0.104)y,即 y=log1.104x(x≥1),所以 y=f(x)的图象大致为 D 中图象.

答案 D

3.现有一组实验数据如下:

t 1.99

3.00

4.00

5.10

6.12

V 1.5

4.04

7.5

12

18.01

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是(  )

A.V=log2t

1 B.V=lo 2t

2 - 1
C.V= 2

D.V=2t-2

解析当 t=4 时,选项 A 中的 V=log24=2,

1 选项 B 中的 V=lo 24=-2,

42 - 1
选项 C 中的 V= 2 =7.5,

选项 D 中的 V=2×4-2=6,故选 C. 答案 C

4.在固定电压差(电压为常数)的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度 I(单位:安)与电线半径 r(单位:毫

米)的三次方成正比.若已知电流通过半径为 4 毫米的电线时,电流强度为 320 安,则电流通过半径为 3 毫米的

电线时,电流强度为(  )

A.60 安

B.240 安

C.75 安

D.135 安

320
解析设比例系数为 k,则电流强度 I=kr3,由已知可得当 r=4 时,I=320,故有 320=43k,解得 k= 64 =5,所以 I=5r3,

则当 r=3 时,I=5×33=135(安). 答案 D 5.若 a>1,n>0,则当 x 足够大时,ax,xn,logax 的大小关系是             . 解析由三种函数的增长特点可知,当 x 足够大时,总有 logax<xn<ax. 答案 logax<xn<ax 6.某种细菌在培养过程中,每 15 分钟分裂 1 次(由 1 个分裂成 2 个),这种细菌由 1 个分裂成 4 096 个需经过      小时. 解析设 1 个细菌分裂 x 次后有 y 个细菌,则 y=2x.
令 2x=4 096=212,则 x=12,即需分裂 12 次,需 12×15=180(分钟),即 3 小时. 答案 3

1
7.画出函数 f(x)= 与函数 g(x)=4x2-2 的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系.

解函数 f(x)与 g(x)的图象如右.根据图象可得:当 0≤x<4 时,f(x)>g(x);当 x=4 时,f(x)=g(x);当 x>4 时,f(x)<g(x). 8.某文具店出售软皮本和铅笔,软皮本每本 2 元,铅笔每支 0.5 元,该店推出两种优惠办法: (1)买一本软皮本赠送一支铅笔; (2)按总价的 92%付款. 现要买软皮本 4 本,铅笔若干支(不少于 4 支),若购买 x 支铅笔,付款为 y 元,试分别建立两种优惠办法中 y 与 x 之间的函数关系式,并说明使用哪种优惠办法更合算? 解由优惠办法(1)得到 y 与 x 的函数关系式为 y=2×4+0.5(x-4)=0.5x+6(x≥4,且 x∈N).
由优惠办法(2)得到 y 与 x 的函数关系式为 y=(0.5x+2×4)×92%=0.46x+7.36(x≥4,且 x∈N). 令 0.5x+6=0.46x+7.36,解得 x=34,且当 4≤x<34 时,0.5x+6<0.46x+7.36,当 x>34 时,0.5x+6>0.46x+7.36.即 当购买铅笔少于 34 支(不少于 4 支)时,用优惠办法(1)合算;当购买铅笔多于 34 支时,用优惠办法(2)合算;当购 买铅笔 34 支时,两种优惠办法支付的总钱数是相同的,即一样合算.

能力提升

1.有一组实验数据如下表所示:

x1

2

3

4

5

y 1.5

5.9

13.4

24.1

37

下列所给函数模型较适合的是(  )

A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1) C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1) 解析通过所给数据可知 y 随 x 增大,其增长速度越来越快,而选项 A,D 中的函数增长速度越来越慢,而选项 B

中的函数增长速度保持不变,故选 C. 答案 C

2.若 x∈(0,1),则下列结论正确的是(  )

1
A.2x>2>lg x

1
B.2x>lg x>2

1
C.2>2x>lg x

1
D.lg x>2>2x

1
解析在同一平面直角坐标系中分别作出函数 y=2x,y=2,y=lg x 的图象,如图所示.由图可知,当 x∈(0,1)时,2x>
1
2>lg x.
答案 A 3.已知某个病毒经 30 分钟可繁殖为原来的 2 倍,且病毒的繁殖规律为 y=ekt(其中 k 为常数,t 表示时间,单位:小 时,y 表示病毒个数),则 k=      ,经过 5 小时,1 个病毒能繁殖      个. 解析当 t=0.5 时,y=2,∴2=12,∴k=2ln 2,
∴y=e2tln 2.当 t=5 时,y=e10ln 2=210=1 024. 答案 2ln 2 1 024 4.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量 y 与净化时间 t(单位:月)的近似函数关 系:y=at(t≥0,a>0,且 a≠1).有以下叙述:

①第 4 个月时,剩留量会低于15;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为12,14,18所经过的时间分别是

t1,t2,t3,则 t1+t2=t3. 其中所有正确的叙述是     .

4

4

解析由图象可得,当 t=2 时,y=9,即 a2=9,

( ) 2

2

解得 a=3.故 y= 3 .

( ) 所以当

t=4

时,有害物质的剩余量为

y=

2 3

4

=

16 81

<

1
5,所以①正确;

( )2 1 = 1
第一个月的减少量为 1- 3 3;

( ) 2
第二个月的减少量为3

?

2 3

2

=

2
9,显然两者不同,所以②错误;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 = 1, 2 2 = 1, 2 3 = 1

2 1 + 2 = 2 1 × 2 2 = 1 × 1 = 1 2 1 + 2 = 2 3

③由已知 3

23

43

8,所以 3

3

3

2 4 8,即 3

3 ,所以

t1+t2=t3,故③正确. 答案①③

5.每年的 3 月 12 日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动.某市现有树 木面积 10 万平方米,计划今后 5 年内扩大树木面积,有两种方案如下: 方案一:每年植树 1 万平方米; 方案二:每年树木面积比上年增加 9%. 你觉得哪个方案较好? 解(方案一)5 年后树木面积是 10+1×5=15(万平方米).
(方案二)5 年后树木面积是 10(1+9%)5≈15.386(万平方米).∵15.386>15,∴方案二较好. 6.某地区今年 1 月、2 月、3 月患某种传染病的人数分别为 52,54,58.为了预测以后各月的患病人数,甲选择了 模型 y1=ax2+bx+c,乙选择了模型 y2=p·qx+r,其中 y1,y2 为患病人数,x 为月份数,a,b,c,p,q,r 都是常数.结果 4 月、 5 月、6 月份的患病人数分别为 66,82,115,你认为谁选择的模型较好?

{·12 + ·1 + = 52,
·22 + ·2 + = 54, 解依题意得 ·32 + ·3 + = 58,

{ + + = 52,
4 + 2 + = 54,

{ = 1,
= - 1,

即 9 + 3 + = 58,解得 = 52,

∴甲:y1=x2-x+52.
{·1 + = 52, ①
·2 + = 54, ② 又 ·3 + = 58, ③

②-①,得 p·q2-p·q1=2,



③-②,得 p·q3-p·q2=4,



⑤÷④,得 q=2.

将 q=2 代入④式,得 p=1.

将 q=2,p=1 代入①式,得 r=50.

∴乙:y2=2x+50.

计算当 x=4 时,y1=64,y2=66;

当 x=5 时,y1=72,y2=82;

当 x=6 时,y1=82,y2=114. 可见,乙选择的模型较好.


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