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大学物理 马文蔚 第五版 下册 第十四章 课后答案

大学物理 马文蔚 第五版 下册 第十四章 课后答案

第十四章
14 -1 下列说法中







(1) 两个相互作用的粒子系统对某一惯性系满足动量守恒,对另一个惯性系来说,其动量不 一定守恒; (2) 在真空中,光的速度与光的频率、光源的运动状态无关; (3) 在任何惯性系中,光在真空中沿任何方向的传播速率都相同. 其中哪些说法是正确的? ( (A) 只有(1)、(2)是正确的 (C) 只有(2)、(3)是正确的 分析与解 ) (B) 只有(1)、(3)是正确的 (D) 三种说法都是正确的

物理相对性原理和光速不变原理是相对论的基础.前者是理论基础,后者是实验

基础.按照这两个原理,任何物理规律(含题述动量守恒定律)对某一惯性系成立,对另一惯性 系也同样成立.而光在真空中的速度与光源频率和运动状态无关,从任何惯性系(相对光源静 止还是运动)测得光速均为3×108 m· s-1 .迄今为止,还没有实验能推翻这一事实.由此可见, (2)(3)说法是正确的,故选(C). 14 -2 按照相对论的时空观,判断下列叙述中正确的是( )

(A) 在一个惯性系中两个同时的事件,在另一惯性系中一定是同时事件 (B) 在一个惯性系中两个同时的事件,在另一惯性系中一定是不同时事件 (C) 在一个惯性系中两个同时又同地的事件,在另一惯性系中一定是同时同地事件 (D) 在一个惯性系中两个同时不同地的事件,在另一惯性系中只可能同时不同地 (E) 在一个惯性系中两个同时不同地事件,在另一惯性系中只可能同地不同时 分析与解 设在惯性系S中发生两个事件,其时间和空间间隔分别为Δt 和Δx,按照洛伦兹 坐标变换,在S′系中测得两事件时间和空间间隔分别为

Δt ? ?

Δt ?

v Δx c2 1? β2



Δx? ?

Δx ? vΔt 1? β2

讨论上述两式,可对题述几种说法的正确性予以判断:说法(A)(B)是不正确的,这是因 为在一个惯性系(如S系)发生的同时(Δt=0)事件, 在另一个惯性系(如S′系)中是否同时有两 种可能,这取决于那两个事件在S 系中发生的地点是同地(Δx=0)还是不同地(Δx≠0).说法 (D)(E)也是不正确的,由上述两式可知:在S系发生两个同时(Δt=0)不同地(Δx≠0)事件, 在S′系中一定是既不同时(Δt′≠0)也不同地(Δx′≠0),但是在S 系中的两个同时同地事件,在

S′系中一定是同时同地的,故只有说法(C)正确.有兴趣的读者,可对上述两式详加讨论,以 增加对相对论时空观的深入理解. 14 -3 有一细棒固定在S′系中,它与Ox′轴的夹角θ′=60° ,如果S′系以速度u 沿Ox 方向 相对于S系运动,S 系中观察者测得细棒与Ox 轴的夹角( (A) 等于60° (B) 大于60° (C) 小于60° )

(D) 当S′系沿Ox 正方向运动时大于60° ,而当S′系沿Ox 负方向运动时小于60° 分析与解 按照相对论的长度收缩效应,静止于S′系的细棒在运动方向的分量(即Ox 轴方

向)相对S系观察者来说将会缩短,而在垂直于运动方向上的分量不变,因此S系中观察者 测得细棒与Ox 轴夹角将会大于60° ,此结论与S′系相对S系沿Ox 轴正向还是负向运动无 关.由此可见应选(C). 14 -4 一飞船的固有长度为L,相对于地面以速度v1 作匀速直线运动,从飞船中的后端向 飞船中的前端的一个靶子发射一颗相对于飞船的速度为 v2 的子弹.在飞船上测得子弹从射 出到击中靶的时间间隔是( (A) ) (c 表示真空中光速) (C)

L v1 ? v2

(B)

L v2 - v1

L v2

(D)

L v1 1 ? ?v1 / c ?
2

分析与解 固有长度是指相对测量对象静止的观察者所测,则题中L、v2 以及所求时间间隔 均为同一参考系(此处指飞船)中的三个相关物理量,求解时与相对论的时空观无关.故选(C). 讨论 从地面测得的上述时间间隔为多少? 建议读者自己求解.注意此处要用到相对论时

空观方面的规律了. 14 -5 设S′系以速率v=0.60c相对于S系沿xx′轴运动,且在t=t′=0时,x =x′=0.(1)若


有一事件,在S系中发生于t=2.0×10 7s,x=50m处,该事件在S′系中发生于何时刻?(2) 如有另一事件发生于S系中t=3.0×10-7 s,x=10m处,在S′系中测得这两个事件的时间间 隔为多少? 分析 在相对论中,可用一组时空坐标(x,y,z,t)表示一个事件.因此,本题可直接利用洛 伦兹变换把两事件从S系变换到S′系中. 解 (1) 由洛伦兹变换可得S′系的观察者测得第一事件发生的时刻为

v x 2 1 c ?? t1 ? 1.25 ? 10 ? 7 s 2 2 1? v / c t1 ?
(2) 同理,第二个事件发生的时刻为

v x 2 2 c ? t2 ? ? 3.5 ? 10 ? 7 s 2 2 1? v /c t2 ?
所以,在S′系中两事件的时间间隔为

? ? t1 ? ? 2.25 ? 10 ?7 s Δt ? ? t2
14 -6 设有两个参考系S 和S′, 它们的原点在t=0和t′=0时重合在一起.有一事件, 在S′ 系中发生在t′=8.0×10


8

s,x′=60m,y′=0,z′=0处若S′系相对于S 系以速率v=0.6c 沿

xx′轴运动,问该事件在S系中的时空坐标各为多少? 分析 本题可直接由洛伦兹逆变换将该事件从S′系转换到S系. 解 由洛伦兹逆变换得该事件在S 系的时空坐标分别为

x?

x? ? vt ? 1 ? v2 / c2

? 93 m

y =y′=0 z =z′=0

v x? c2 t? ? 2.5 ? 10 ? 7 s 2 2 1? v /c t? ?
14 -7 一列火车长0.30km(火车上观察者测得),以100km· h-1 的速度行驶,地面上观察者 发现有两个闪电同时击中火车的前后两端.问火车上的观察者测得两闪电击中火车前后两端 的时间间隔为多少? 分析 首先应确定参考系,如设地面为S系,火车为S′系,把两闪电击中火车前后端视为

两个事件(即两组不同的时空坐标).地面观察者看到两闪电同时击中, 即两闪电在S系中的时 间间隔Δt=t2-t1=0.火车的长度是相对火车静止的观察者测得的长度(注:物体长度在不指 明观察者的情况下,均指相对其静止参考系测得的长度),即两事件在S′系中的空间间隔Δx′ =x′2 -x′1=0.30×103m.S′系相对S系的速度即为火车速度(对初学者来说, 完成上述基本分 析是十分必要的).由洛伦兹变换可得两事件时间间隔之间的关系式为

t2 ? t1 ?

? ? t1 ?? ? ?t2

v ? ? x1 ?? ?x2 c2 1 ? v2 / c 2

(1)

? ? t1 ?? t2

?t2 ? t1 ? ?

v ?x2 ? x1 ? c2 1 ? v2 / c2

(2)

将已知条件代入式(1)可直接解得结果.也可利用式(2)求解,此时应注意,式中 x2 ? x1 为地面 观察者测得两事件的空间间隔, 即S系中测得的火车长度, 而不是火车原长.根据相对论, 运

? ? x1 ? ? 1 ? v / c .考虑这一关系方可利用式(2) 动物体(火车)有长度收缩效应, 即 x2 ? x1 ? ?x2
2 2

求解. 解1 根据分析,由式(1)可得火车(S′系)上的观察者测得两闪电击中火车前后端的时间间隔 为

? ? t1 ?? t2

v ? ? x1 ? ? ? ?9.26 ??14 s ?x2 c2

负号说明火车上的观察者测得闪电先击中车头x′2 处.

? ? x1 ?? 1 ? v / c 解2 根据分析,把关系式 x2 ? x1 ? ?x2
2

2

代入式(2)亦可得

? ? x1 ? =0.30km这一 与解1 相同的结果.相比之下解1 较简便,这是因为解1中直接利用了 x2
已知条件. 14 -8 在惯性系S中,某事件A发生在x1处,经过2.0 ×10 6s后,另一事件B发生在x2处, 已知x2-x1=300m.问: (1) 能否找到一个相对S系作匀速直线运动的参考系S′, 在S′系中, 两事件发生在同一地点?(2) 在S′系中,上述两事件的时间间隔为多少? 分析 在相对论中,从不同惯性系测得两事件的空间间隔和时间间隔有可能是不同的.它与


两惯性系之间的相对速度有关.设惯性系S′以速度v 相对S 系沿x 轴正向运动,因在S 系 中两事件的时空坐标已知,由洛伦兹时空变换式,可得

? ? x1 ?? x2

?x2 ? x1 ? ? v?t2 ? t1 ?
1 ? v2 / c2

(1)

? ? t1 ?? t2

?t2 ? t1 ? ? v2 ?x2 ? x1 ?
c 1 ? v2 / c2

(2)

两事件在S′系中发生在同一地点, 即x′2-x′1=0, 代入式(1)可求出v 值以此作匀速直线 运动的S′系,即为所寻找的参考系.然后由式(2)可得两事件在S′系中的时间间隔.对于本题 第二问,也可从相对论时间延缓效应来分析.因为如果两事件在S′系中发生在同一地点,则

Δt′为固有时间间隔(原时),由时间延缓效应关系式 Δt ? ? Δt 1 ? v / c 可直接求得结果.
2 2

解 (1) 令x′2-x′1=0,由式(1)可得

v?

x2 ? x1 ? 1.50 ? 108 m ? s -1 ? 0.50 c t2 ? t1

(2) 将v值代入式(2),可得

? ? t1 ?? t2

?t2 ? t1 ? ? v2 ?x2 ? x1 ?
c 1 ? v2 / c2

? ?t2 ? t1 ? 1 ? v 2 / c 2 ? 1.73 ? 10 ? 6 s

这表明在S′系中事件A先发生. 14 -9 设在正负电子对撞机中,电子和正电子以速度0.90c 相向飞行,它们之间的相对速 度为多少? 分析 设对撞机为S系,沿x 轴正向飞行的正电子为S′系.S′系相对S系的速度v=0.90c, 则另一电子相对S系速度ux=-0.90c, 该电子相对S′系(即沿x轴正向飞行的电子)的速度u′x 即为题中所求的相对速度.在明确题目所述已知条件及所求量的物理含义后,即可利用洛伦 兹速度变换式进行求解. 解 按分析中所选参考系,电子相对S′系的速度为

u? x ?

u x ? u? x ? ?0.994 c v 1 ? 2 ux c

式中负号表示该电子沿x′轴负向飞行,正好与正电子相向飞行. 讨论 若按照伽利略速度变换,它们之间的相对速度为多少? 14 -10 设想有一粒子以0.050c 的速率相对实验室参考系运动.此粒子衰变时发射一个电

子,电子的速率为0.80c,电子速度的方向与粒子运动方向相同.试求电子相对实验室参考系 的速度. 分析 这是相对论的速度变换问题.取实验室为S系,运动粒子为S′系,则S′系相对S系的 速度v=0.050c.题中所给的电子速率是电子相对衰变粒子的速率,故u′x =0.80c. 解 根据分析,由洛伦兹速度逆变换式可得电子相对S系的速度为

ux ?
14 -11

u? x ?v ? 0.817 c v 1 ? 2 u? x c

设在宇航飞船中的观察者测得脱离它而去的航天器相对它的速度为1.2×108m· s-1

i. 同 时 , 航 天 器 发 射 一 枚 空 间 火 箭 , 航 天 器 中 的 观 察 者 测 得 此 火 箭 相 对 它 的 速 度 为

1.0×108m· s-1 i.问:(1) 此火箭相对宇航飞船的速度为多少? (2) 如果以激光光束来替代空 间火箭,此激光光束相对宇航飞船的速度又为多少? 请将上述结果与伽利略速度变换所得 结果相比较,并理解光速是运动体的极限速度. 分析 该题仍是相对论速度变换问题.(2)中用激光束来替代火箭,其区别在于激光束是以光

速c相对航天器运动,因此其速度变换结果应该与光速不变原理相一致. 解 设宇航飞船为S系, 航天器为S′系, 则S′系相对S系的速度 v=1.2 ×108m· s


1

,空间火箭相对航天器的速度为u′x=1.0×108m· s 1,激光束相对航天



器的速度为光速c.由洛伦兹变换可得: (1) 空间火箭相对S 系的速度为

ux ?
(2) 激光束相对S 系的速度为

u? x ?v ? 1.94 ? 108 m ? s-1 v 1 ? 2 u? x c c?v ?c v 1? 2 c c

ux ?

即激光束相对宇航飞船的速度仍为光速c,这是光速不变原理所预料的.如用伽利略变换,则 有ux=c +v >c.这表明对伽利略变换而言,运动物体没有极限速度,但对相对论的洛伦兹 变换来说,光速是运动物体的极限速度. 14 -12 以速度v沿x方向运动的粒子,在y 方向上发射一光子,求地面观察者所测得光子 的速度. 分析 设地面为S系,运动粒子为S′系.与上题不同之处在于,光子的运动方向与粒子运动 方向不一致,因此应先求出光子相对S系速度u的分量ux、uy 和uz ,然后才能求u的大小和 方向.根据所设参考系,光子相对S′系的速度分量分别为u′x=0,u′y=c,u′z=0. 解 由洛伦兹速度的逆变换式可得光子相对S系的速度分量分别为

ux ?

u? x ?v ?v v ? 1 ? 2 ux c

uy ?

2 2 u? y 1? v /c ? c 1 ? v2 / c2 v 1 ? 2 u? x c

uz ? 0
所以,光子相对S系速度u的大小为

2 2 u ? ux ? uy ? u z2 ? c

速度u 与x 轴的夹角为

θ ? arctan

uy ux

? arctan

c2 ? v2 v

讨论 地面观察者所测得光子的速度仍为c,这也是光速不变原理的必然结果.但在不同惯性 参考系中其速度的方向却发生了变化. 14 -13 设想地球上有一观察者测得一宇宙飞船以0.60c 的速率向东飞行,5.0s后该飞船 将与一个以0.80c的速率向西飞行的彗星相碰撞.试问:(1) 飞船中的人测得彗星将以多大的 速率向它运动? (2) 从飞船中的钟来看,还有多少时间允许它离开航线,以避免与彗星碰 撞? 分析 (1) 这是一个相对论速度变换问题.取地球为S系,飞船为S′系,向东为x 轴正向.则

S′系相对S系的速度v=0.60c,彗星相对S系的速度ux =-0.80c,由洛伦兹速度变换可得 所求结果. (2) 可从下面两个角度考虑: a.以地球为S系,飞船为S′系.设x0=x′0 =0 时t0=t′0=0,飞船与彗星相碰这一事件在S 系中的时空坐标为t =5.0s,x=vt.利用洛伦兹时空变换式可求出t′,则Δt′=t′-t′0表示飞 船与彗星相碰所经历的时间. b.把t0=t′0=0 时的飞船状态视为一个事件,把飞船与彗星相碰视为第二个事件.这两个事 件都发生在S′系中的同一地点(即飞船上),飞船上的观察者测得这两个事件的时间间隔Δt′ 为固有时,而地面观察者所测得上述两事件的时间间隔Δt=5.0s比固有时要长,根据时间 延缓效应可求出Δt′. 解 (1) 由洛伦兹速度变换得彗星相对S′系的速度为

u? x ?
即彗星以0.946c的速率向飞船靠近.

u? x ?v ? ?0.946 c v 1 ? 2 ux c

(2) 飞船与彗星相碰这一事件在S′系中的时刻为

vx c 2 ? 4.0 s t? ? 1 ? v2 / c2 t? ?
即 在 飞 船 上 看 , 飞 船 与 彗 星 相 碰 发 生 在 时 刻 t′ = 4.0 s . 也 可 以 根 据 时 间 延 缓 效 应

Δt ?

Δt ? 1 ? v2 / c2

? 5.0 s ,解得Δt′=4.0 s,即从飞船上的钟来看,尚有4.0 s 时间允许

它离开原来的航线. 14 -14 在惯性系S 中观察到有两个事件发生在同一地点,其时间间隔为4.0 s,从另一惯 性系S′中观察到这两个事件的时间间隔为6.0 s,试问从S′系测量到这两个事件的空间间隔 是多少? 设S′系以恒定速率相对S系沿xx′轴运动. 分析 这是相对论中同地不同时的两事件的时空转换问题.可以根据时间延缓效应的关系式

先求出S′系相对S 系的运动速度v,进而得到两事件在S′系中的空间间隔Δx′=vΔt′(由洛 伦兹时空变换同样可得到此结果). 解 由题意知在S系中的时间间隔为固有的,即Δt =4.0s,而Δt′=6.0 s.根据时间延缓效 应的关系式 Δt ? ?

Δt 1 ? v2 / c2

,可得S′系相对S系的速度为

? ? Δt ?2 ? v ? ?1 ? ? ? ? ? ? Δt ? ? ? ? ?
两事件在S′系中的空间间隔为

1/ 2

c?

5 c 3

Δx? ? vΔt ? ? 1.34 ? 109 m
14 -15 在惯性系S 中, 有两个事件同时发生在xx′轴上相距为1.0×103m的两处,从惯

性系S′观测到这两个事件相距为2.0×103m,试问由S′系测得此两事件的时间间隔为多少? 分析 这是同时不同地的两事件之间的时空转换问题.由于本题未给出S′系相对S 系的速

度v,故可由不同参考系中两事件空间间隔之间的关系求得v,再由两事件时间间隔的关系 求出两事件在S′系中的时间间隔. 解 设此两事件在S 系中的时空坐标为(x1 ,0,0,t1 )和(x2 ,0,0,t2 ),且有x2 -x1 = 1.0×103m, t2 -t1 =0.而在S′系中, 此两事件的时空坐标为(x′1 ,0,0,t′1 )和(x′2 ,0, 0,t′2 ),且|x′2 -x′1| =2.0×103m,根据洛伦兹变换,有

? ? x1 ?? x2

?x2 ? x1 ? ? v?t2 ? t1 ?
1 ? v2 / c2

(1)

? ? t1 ?? t2
由式(1)可得

?t2 ? t1 ? ? v2 ?x2 ? x1 ?
c 1 ? v2 / c2

(2)

? ?x ? x ?2 ? v ? ?1 ? 2 1 2 ? ? ? x1 ?? ? ? ?x2
将v 值代入式(2),可得

1/ 2

c?

3 c 2

? ? t1 ? ? 5.77 ? 10 ?6 s t2
14 -16 有一固有长度为l0 的棒在S 系中沿x 轴放置,并以速率u 沿xx′轴运动.若有一

S′系以速率v 相对S 系沿xx′轴运动,试问从S′系测得此棒的长度为多少? 分析 当棒相对观察者(为S′系)存在相对运动时,观察者测得棒的长度要比棒的固有长度l0
2 2 短,即 l ? l0 1 ? u ? / c .式中u′是棒相对观察者的速度,而不要误认为一定是S′系和S 系

之间的相对速度v.在本题中,棒并非静止于S系,因而S′系与S 系之间的相对速度v 并不 是棒与S′系之间的相对速度u′.所以本题应首先根据洛伦兹速度变换式求u′,再代入长度收 缩公式求l. 解 根据分析,有

u? ?

u?v uv 1? 2 c

(1)

l ? l0 1 ? u?2 / c 2
解上述两式,可得

(2)

l?

l0 c 2 ? u 2 c 2 ? v2 c ? uv
2

??

??

??

1/ 2

14 -17 若从一惯性系中测得宇宙飞船的长度为其固有长度的一半,试问宇宙飞船相对此 惯性系的速度为多少? (以光速c 表示) 解 设宇宙飞船的固有长度为l0 ,它相对于惯性系的速率为v,而从此惯性系测得宇宙飞船 的长度为 l 0 / 2 ,根据洛伦兹长度收缩公式,有

l0 / 2 ? l0 1 ? v 2 / c 2
可解得 v =0.866c 14 -18 一固有长度为4.0 m 的物体, 若以速率0.60c 沿x 轴相对某惯性系运动, 试问从该 惯性系来测量,此物体的长度为多少? 解 由洛伦兹长度收缩公式

l ? l0 1 ? v 2 / c 2 ? 3.2 m
*14 -19 设一宇航飞船以a =9.8 m· s


2

的恒加速度, 沿地球径向背离地球而去, 试估计

由于谱线的红移, 经多少时间, 飞船的宇航员用肉眼观察不到地球上的霓虹灯发出的红色信 号. 分析 霓虹灯发出的红色信号所对应的红光波长范围一般为620nm~760 nm,当飞船远离

地球而去时,由光的多普勒效应可知,宇航员肉眼 观察到的信号频率ν <ν0 ,即λ>λ0 ,其中ν0 和λ0 为霓虹灯的发光频率和波长.很显然,当 λ0=620 nm,而对应的红限波长λ=760 nm 时,霓虹灯发出的红色信号,其波长刚好全部 进入非可见光范围,即宇航员用肉眼观察不到红色信号.因此,将上述波长的临界值代入多 普勒频移公式,即可求得宇航员观察不到红色信号时飞船的最小速率v,再由运动学关系, 可求得飞船到达此速率所需的时间t. 解 当光源和观察者背向运动时,由光的多普勒效应频率公式

?c?v? v ? v0 ? ? ?c? v?
得波长公式

1/ 2

?c? v? λ ? λ0 ? ? ?c?v?

1/ 2

式中v 为飞船相对地球的速率.令λ0 =620 nm,λ=760 nm,得宇航员用肉眼观察不到地球 上红色信号时飞船的最小速率为

v?
飞船达此速率所需的时间为

λ2 ? λ2 0 ? 0.60 ? 10 8 m ? s -1 λ2 ? λ2 0

t?

v ? 6.1 ? 10 6 s ? 0.20 a a

14 -20 若一电子的总能量为5.0MeV,求该电子的静能、动能、动量和速率. 分析 粒子静能E0 是指粒子在相对静止的参考系中的能量, E0 ? m0c ,式中为粒子在相
2


对静止的参考系中的质量.就确定粒子来说,E0 和m0均为常数(对于电子,有m0 =9.1 ×10
31kg,E0=0.512

MeV).本题中由于电子总能量E >E0 ,因此,该电子相对观察者所在的

参考系还应具有动能,也就具有相应的动量和速率.由相对论动能定义、动量与能量关系式 以及质能关系式,即可解出结果.

解 电子静能为 电子动能为
2 2 2

E0 ? m0c 2 ? 0.512 MeV

EK =E-E0 =4.488 MeV
2

由 E ? p c ? E0 ,得电子动量为

p?
? v2 ? 由 E ? E0 ? ?1 ? c 2 ? ? ? ?
?1 / 2

1 2 2 E ? E0 c

?

?

1/ 2

? 2.66 ? 10 ? 21 kg ? m ? s-1

可得电子速率为

? E 2 ? E02 ? v ? c? ? E2 ? ? ? ?

1/ 2

? 0.995 c

14 -21 一被加速器加速的电子,其能量为3.00 ×109eV.试问:(1) 这个电子的质量是其静 质量的多少倍? (2) 这个电子的速率为多少?
2 解 (1) 由相对论质能关系 E ? mc 和 E 0 ? m0 c 可得电子的动质量m 与静质量m0之比为
2

m E E ? ? ? 5.86 ? 10 3 m0 E0 m0c 2
? v2 ? (2) 由相对论质速关系式 m ? m0 ? ?1 ? c 2 ? ? ? ?
?1 / 2

可解得

? ? m0 ?2 ? v ? ?1 ? ? ? ? ? ?m? ? ? ?
可见此时的电子速率已十分接近光速了.

?1 / 2

c ? 0.999999985 c

14 -22 在电子偶的湮没过程中,一个电子和一个正电子相碰撞而消失,并产生电磁辐射. 假定正负电子在湮没前均静止,由此估算辐射的总能量E. 分析 在相对论中, 粒子的相互作用过程仍满足能量守恒定律, 因此辐射总能量应等于电子 偶湮没前两电子总能之和.按题意电子偶湮没前的总能只是它们的静能之和. 解 由分析可知,辐射总能量为

E ? 2m0c 2 ? 1.64 ? 10 ?13 J ? 1.02 MeV
14 -23 若把能量0.50 ×106 eV给予电子,让电子垂直于磁场运动,其运动径迹是半径为

2.0cm 的圆 . 问: (1) 该磁场的磁感强度 B 有多大? (2) 这电子的动质量为静质量的多少 倍? 分析 (1) 电子在匀强磁场中作匀速圆周运动时,其向心力为洛伦兹力F =evB,在轨道半

径R 确定时,B=B (p),即磁感强度是电子动量的函数.又由相对论的动能公式和动量与能 量的关系可知电子动量p =p(E0 ,EK),题中给予电子的能量即电子的动能EK ,在电子静能

E ? m0c 2 已知的情况下,由上述关系可解得结果.
(2) 由相对论的质能关系可得动质量和静质量之比.本题中电子的动能EK =0.50 MeV 与静 能E0=0.512 MeV 接近,已不能用经典力学的方法计算电子的动量或速度,而必须用相对 论力学.事实上当EK =0.50 E0 时,用经典力学处理已出现不可忽略的误差. 解 (1) 根据分析,有 E =E0 +EK
2 E 2 ? E0 ? p 2c 2

(1) (2)

evB ? m
联立求解上述三式,可得

v2 R

(3)

B?
(2) 由相对论质能关系,可得

Ek0 ? 2 E0 Ek eRc

m E E ? ? 1 ? k ? 1.98 m0 E0 E0
本题也可以先求得电子速率v 和电子动质量m,但求解过程较繁. 14 - 24 如果将电子由静止加速到速率为 0.10c ,需对它作多少功? 如将电子由速率为

0.80c 加速到0.90c,又需对它作多少功? 分析 在相对论力学中, 动能定理仍然成立, 即 W ? ΔEk ? ΔEk 2 ? Ek1 , 但需注意动能EK 不 能用

1 2 mv 表示. 2

解 由相对论性的动能表达式和质速关系可得当电子速率从v1 增加到v2时,电子动能的增 量为

ΔEk ? ΔEk 2 ? Ek1 ? ?m2c 2 ? m0c 2 ? ? ?m1c 2 ? m0c 2 ?
?1 / 2 2 ?1 / 2 ?? ? ? v2 ? 2 ? ? ? ? ? v2 ? ? ? m0c ??1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? c ? ? ? ? ? c ? ? ? ? ? ? ?? ? 2

根据动能定理,当v1 =0,v2 =0.10c 时,外力所作的功为

W ? ΔEk ? 2.58 ? 103 eV
当v1 =0.80 c,v2=0.90 c 时,外力所作的功为

? ? 3.21 ? 105 eV W ? ? ΔEk
由计算结果可知,虽然同样将速率提高0.1 c,但后者所作的功比前者要大得多,这是因为随 着速率的增大,电子的质量也增大.


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