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浙江大学微积分一07-08秋冬解答资料

浙江大学微积分一07-08秋冬解答资料


07-08 秋冬 试题 一、(每小题 6 分) 1、 y= tan 5x + e 4 x + ln π ,求 y’ 2、
? ?x = t 2 + 2t 确定了 y 为 x 的函数 y=y(x), 求曲线 y=y(x)的凹凸区间及拐点坐标(区间用 x 表示, 设由参数式 ? ? ? y = t ? ln(1 + t )

点用(x,y)表示) 3、 求 lim (
x →0 1

sin x x 2 ) x

4、 求 lim [ x 2 + 2 x + sin x ? ( x + 2)]
x → +∞

二、(每小题 8 分) 5、 求 6、 求 7、 求 三、 8、(8 分) 设 y=y(x)是由 y 3 + xy + x 2 ? 2 x + 1 = 0 及 y(1)=0 所确定,求
1 x ( x + 1) arcsin e x ex
+∞ 0

∫ ∫

2

dx

dx



x 3e ? x dx

3

x →1

∫ lim

x 1

y( t )dt

( x ? 1) 3

9、(8 分) 设 f(x)= 10、(8 分) 设常数 a>0, 讨论曲线 y=ax 与 y=2lnx 在第一象限中公共点的个数 11、(8 分) 设 a<0,曲线 y= ax 2 + bx 当 0 ≤ x ≤ 1 时 y ≥ 0 .又已知该抛物线与 x 轴及直线 x=1 所围成的图形的面积 D = 1 / 3 ,试确 定常数 a 与 b 使得该图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积 V 为最小。
x 2 x 2 ? 3x + 1

,试将 f(x)展开成 x 的幂级数,并求 f ( n ) (0) (n ≥ 1)

1

2010-1-12

9:01

07-08 秋冬.doc

12、(6 分) 设 f(x)在区间(0,1)内可导,且|f’(x)| ≤ M (1) 级数 (常数),证明

∑ [f ( 2
n =1



1
n

) ?f(

1 2
n +1

)] 绝对收敛

(2) lim f (
n →∞

1 2n

) 存在

四、选择题 (每小题 4 分) 13、 设 f(x)=u(x)+v(x), g(x)=u(x)-v(x), 并设 lim u ( x ) 和 lim v( x ) 均不存在,下列结论正确的是
x →0 x →0

(A) 若 lim f ( x ) 不存在,则 lim g( x ) 必存在
x →0 x →0

(B) 若 lim f ( x ) 不存在,则 lim g( x ) 必不存在
x →0 x →0

(C) 若 lim f ( x ) 存在,则 lim g( x ) 必不存在
x →0 x →0

(D) 若 lim f ( x ) 存在,则 lim g( x ) 必存在
x →0 x →0

14、 曲线 y=
1 + ln(1 + e x ) 的渐进线的条数 x ( x ? 1)

(A) 4 条 15、 设 f(x)= lim (A) 0 个 16、

(B) 3 条

(C) 2 条

(D) 1 条

x 2 n +1 + x 2 + x x 2n + 1
(B) 1 个

n →∞

,则 f(x)的不连续点的个数为 (C) 2 个 (D) 多于 2 个

设 f(x)在[a,b]上可导,且 f’(a)>0, f’(b)>0, 下述结论不正确的是 (A) 至少存在一点 x 0 ∈ (a,b),使得 f ( x 0 ) > f (a ) (C) 至少存在一点 x 0 ∈ (a,b),使得 f ' ( x 0 ) =0 17、 设 a n >0 (n=1,2,…), 下列结论正确的是 (A) 若存在 N>0,使得 n>N 时均有 (B) 至少存在一点 x 0 ∈ (a,b),使得 f ( x 0 ) > f (b)
1 (D) 至少存在一点 x 0 ∈ (a,b),使得 f ( x 0 ) > [f (a ) + f (b)] 2

a n +1 <1, 则 an

∑a
n =1



n

必收敛

(B) 若存在 N>0,使得 n>N 时均有

a n +1 >1, 则 an

∑a
n =1



n

必发散

(C) 若

∑a
n =1



n

收敛,则必存在 N>0,使得 n>N 时必有

a n +1 <1 an

(D) 若

∑a
n =1



n

发散,则必存在 N>0,使得 n>N 时必有

a n +1 >1 an

2

2010-1-12

9:01

07-08 秋冬.doc


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