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2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第10章 第3节 二项式定理_图文

2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第10章 第3节 二项式定理_图文

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

第三节

二项式定理(理)

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

[主干知识梳理] 一、二项式定理 1.展开式
n 1 n-1 1 k n-k k n n (a+b)n= C0 a + C a b +?+ C a b +?+ C 所表示的 n n n nb

定理叫做二项式定理. 2.通项
n-k k Tk+1= Ck a b 为第 k+1 项. n

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二、二项式系数 1.定义
k 式子 Cn

(k=0,1,?,n)叫做二项式系数.

2.性质
1 2 n n (1)C0 + C + C +?+ C = 2 . n n n n 2 1 3 n -1 (2)C0 + C +?= C + C +?= 2 . n n n n n-m (3)对称性:Cm = C . n n

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(4)二项式系数最值问题: n ①当 n 为偶数时,中间一项 T +1 的二项式系数最大; 2 n+1 n + 1 ②当 n 为奇数时,中间两项 T 和T +1 的二项式系数相 2 2 等且最大.

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三、项的系数 项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号,与二项

式系数一般不同.

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

[基础自测自评]
? 1? 9的展开式中 x3 的系数为( ? 1.(教材习题改编)?x-x? ? ? ?

)

A.-84 C.168 A
? ? ?

B.84 D.-168 x?

? 1?r r 9-r r 9-2r [Tr+1=C9x ·?- ? =Cr ( - 1) x , 9

令 9-2r=3 得 r=3.
3 故 x3 的系数为 C3 9(-1) =-84.]

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2.(教材习题改编 )若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4.则 a0+a2 +a4 的值为 ( A.9 C.7 B.8 D.6

)

B [令 x=1,则 a0+a1+a2+a3+a4=0, 令 x=-1,则 a0-a1+a2-a3+a4=16, 故 a0+a2+a4=8.]

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3.(1+3x)n(其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中 x5 与 x6 的系数相等, 则 n= ( A.6 B.7 C.8 D.9
r r r r B [∵Tr+1=Cr (3 x ) = 3 Cnx , n 6 6 由已知条件 35C5 = 3 Cn, n

)



6 C5 = 3C n n,∴

n! n! =3× 5!(n-5)! 6!(n-6)!

∴n=7.]

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? 4.设二项式? ?x- ?

a? ?6 3 ( a > 0) 的展开式中 x 的系数为 A,常数项为 x? ?

B.若 B=4A,则 a 的值是________. 解析 由 Tr+1=Cr 6x
6-r?

?-a? 3 ?r r r ? x ? =C6(-a) x6-2r, ? ?

4 2 2 得 B=C4 6(-a) ,A=C6(-a) ,

由 B=4A,a>0,解得 a=2. 答案 2

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? 2? 4的展开式中的常数项为________,展 ? 5.(2014· 石景山模拟)?x+x? ? ? ?

开式中各项系数和为________.(用数字作答) 解析
r 4-r?2?r 4 -2 r Tr+1=C4x ? ? =2rCr x , 4

? ? ? x?

r=2 时,可得常数项 22C2 4=24, 令 x=1 即可得各项系数和为 34=81. 答案 24 81

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[关键要点点拨]
n-r r 1.运用二项式定理一定要牢记通项 Tr+1=Cr b .注意(a+b)n 与 na

(b+a)n 虽然相同,但具体到它们展开式的某一项时是不同的, 一定要注意顺序问题. 2.二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概 念, 前者只指 Cr 而后是字母外的部分, 前者只与 n 和 r 有关, n, 恒为正,后者还与字母的系数有关,可正可负.

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3.二项式系数的最大值、最小值要根据n的奇偶性确定,同 时注意二项式系数最大时该项的系数不一定最大,还要取

决于a、b的系数.

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求展开式中的特定项(或系数)
[典题导入]
? (1)(2012· 重庆高考)? ? ?

1 ? ?8 x+ 的展开式中常数项为 2 x? ? ( )

35 A. 16 35 C. 4

35 B. 8 D.105

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[听课记录] 二项展开式的通项
r ?1?r 4-r C8? ? x ,当

Tr+1=Cr 8(

x)

8-r?

? 1 ? ?r ? 2 x? = ? ?
4?1?4 C8? ?

? ? ?2?

4-r=0 时,r=4,所以展开式中的常数项为

? ? ?2?

35 = . 8 答案 B

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a ? ? ?x+ ? (2)(2013· 安徽高考)若? 3 ?8的展开式中 x4 的系数为 7,则实数 x? ? a=________. a ? ? ? 1? ?x+ ?8 r r 8-r r? [听课记录] ∵? 3 ? 的通项为 C8x a ?x-3? ? ? ? x? ? r r r r 8-r r r =C8a x x- =C8a x8-r- , 3 3

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r ∴8-r- =4,解得 r=3. 3
3 ∴C3 a 8 =7,得

1 a= . 2

1 答案 2

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

[互动探究] 本例(1)中条件不变试求展开式中是否存在无理项?展开式中的中 间项是多少? 1 r 4- r 解析 由 Tr+1= rC8x 且 r=0,1,2,?,8,验证知这九项均 2 为有理项,故无理项是不存在的. 1 4 0 35 由 r=4,展开式的中间项为 T5= 4C8x = ,即常数项. 2 8

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

[规律方法] 1 .化简通项时注意通项公式表示的是第 k + 1 项而不是第 k

项.
2.常数项是指通项中字母的指数为0的项,有理项是指通项 中字母的指数为整数的项.

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[跟踪训练]
? ? ? 2 1?n 1.(1)(2014· 陕西五校一模)?x -x ? 的展开式中,常数项为 ? ?

15,则

n 的值可以为 ( A.3 C.5 B.4 D.6 )

2n-3r D [二项展开式的通项 Tr+1=(-1)rCr x , n

2 2 2 当 r= n 时为常数项,即(-1) nC nn=15,得 n=6.] 3 3 3

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

(2)(2014· 山东济南)设 a=∫0 sin 式的常数项是 A.160 C.240 B.-160 D.-240

π

? xdx,则二项式? ?a ?

1? 6的展开 x- ? x? ? ( )

r 6 B [因为 a=(-cos x)|π 0 =2,所以二项式的通项是 Tr+1=C6(2 x)
-r?

? ?- ?

1? ?r 3 3 3 , 可知当 r = 3 时是其常数项, 故 T = C × 2 × ( - 1) =- 4 6 x? ?

160.]

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

赋值法的应用
[典题导入] (2014· 宜宾二诊 ) 若 (2x + 3)4 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2 的值为 ( A.-1 C.2 B.1 D.-2 )

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

[听课记录] 令 x=1,则 a0+a1+a2+a3+a4=(2+ 3)4; 令 x=-1,则 a0-a1+a2-a3+a4=(-2+ 3)4. ∴(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+ a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3 +a4)=(2+ 3)4· (-2+ 3)4 =(3-4)4=1. 答案 B

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

[规律方法] 1 .二项式定理给出的是一个恒等式,对于 a , b 的一切值都

成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法
时,令 a , b 等于多少时,应视具体情况而定,一般取 “ 1 、 -1或0”,有时也取其他值.

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

2.一般地,若 f(x)=a0+a1x+a2x2+?+anxn,则 f(x)的展开式中 各项系数之和为 f(1),奇数项系数之和为 a0+a2+ a4+ ?= f(1)+f(-1) , 偶 数 项 系 数 之 和 为 a1 + a3 + a5 + ? = 2 f(1)-f(-1) . 2

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

[跟踪训练]
? ? ? 2 1?n 2.(2014· 烟台诊断性测试)若?x -x? 的展开式中含 ? ?

x 的项为第 6

项,设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+?+anxn,则 a1+a2+?+an 的值为________.

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

解析

? ? ? 2 1?n 二项式?x -x? 的展开式的第 ? ?

5 2n-15 6 项是 T5+1=C5 , n(-1) x

令 2n-15=1 得 n=8. 在二项式(1-3x)8 的展开式中, 令 x=0 得 a0=1; 令 x=1 得 a0+a1+?+a8=28 =256, 所以 a1+a2+?+a8=255. 答案 255

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

项的系数最值问题 [典题导入]

(2013·新课标全国Ⅰ高考)设m为正整数,
(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式 的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m= ( A.5 B.6 )

C.7

D.8

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

[听课记录] 根据二项式系数的性质知:(x+y)2m 的二项式系数最
2m+1 m 大有一项,Cm = a , ( x + y ) 的二项式系数最大有两项, C 2m 2m+1=
+1 m m Cm = b . 又 13 a = 7 b ,所以 13C = 7C 2m+1 2m 2m+1,将各选项中 m 的取值

逐个代入验证,知 m=6 满足等式,所以选择 B. 答案 B

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

[规律方法] 1.求二项式系数最大项: (1)如果 n (2)如果 n
? ?n ? ? ? ? ? 是偶数,则中间一项?第?2+1? 项 ? ?的二项式系数最大; ? ? ? ? ? n+1 是奇数,则中间两项? ?第 2 项与第 ?

??n+1 ? ? ?? ? ? + 1 ?? 2 ?项?的二项式系数相等并最大. ?? ? ?

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

2.求展开式系数最大项:如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式系数最 大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为 A1, A2,?, An+1, 且第 k 即为所求.
? ?Ak≥Ak-1, 项系数最大, 应用? 从而解出 ? ?Ak≥Ak+1

k 来,

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

[跟踪训练] 3.(2014· 西安模拟)若 x∈(0,+∞),则(1+2x)15 的二项展开式中 系数最大的项为 ( A.第 8 项 C.第 8 项和第 9 项 B.第 9 项 D.第 11 项 )

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

D

r r [Tr+1=Cr 2 由 15 x ,

32 r-1 r-1 r r r+1 r+1 r r 29 C15 2 ≤C152 , C15 2 ≤C152 ? ≤r≤ , 3 3

r=10,所以第 11 项的系数最大.]

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

【创新探究】 搭配法解二项式问题 (2013·新课标全国Ⅱ高考)已知(1+ax)(1+x)5的

展开式中x2的系数为5,则a=
( A.-4 C.-2 【思路导析】 B.-3 D.-1 分两类:一类是 1 + ax 中的常数项 1 与 (1 )

+x)5展开式的x2相乘,另一类是1+ax中的ax项与(1+x)5
展开式的x相乘.

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

r 【解析】 因为(1+x)5 的二项展开式的通项为 Cr 5x (0≤r≤5,r∈ 2 1 2 Z),则含 x2 的项为 C2 x + ax · C x = (10 + 5 a ) x , 5 5

所以 10+5a=5,a=-1. 【答案】 D

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

【高手支招】

求几个二项式积的展开式中某项的系数或特

定项时,一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配,

分类时要抓住一个二项式逐项分类,分析其它二项式应满足
的条件,然后再求解结果.此法易出现分类搭配不全,运算 失误等错误.

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

[体验高考]
? 1 ? ? ?n * 1.(2013· 辽宁高考)使?3x+ ( n ∈ N )的展开式中含有常数项的 ? x x ? ?

最小的 n 为 ( A.4 C.6 B B.5 D.7
?

)

n - r? [由二项式定理得:Tr+1=Cr (3 x ) n ?

1 ? 5 ?r r n- r ? =Cn3 xn-2r, x x ? ?

5 令 n- r=0,当 r=2 时,n=5,此时 n 最小,故选 B.] 2

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

? 1? ? 6,x<0, ? ??x- ? ? x ? ? ? 2.(2013· 陕西高考)设函数 f(x)= 则当 x>0 时, ? ?- x,x≥0,

f[f(x)]表达式的展开式中常数项为 ( A.-20 C.-15 B.20 D.15 )

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

A [当 x>0 时,f(x)=- x<0, 则
? f[f(x)]=? ?- ? ? 1? 1? ?6 ? 6.T x+ ? =? x- ? r +1 x? ? x? ?

=Cr 6(

x)

6- r

? ·? ?- ?

1? ?r x? ?

6-r r r r 2 =(-1) C6x ·x- 2
3 -r =(-1)rCr . 6x

令 3-r=0,得 r=3, 此时 T4=(-1)3C3 6=-20.]

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

3.(2013· 大纲全国高考)(1+x)8(1+y)4 的展开式中 x2y2 的系数是 ( A.56 C.112 B.84 D.168 )

2 2 4 D [在(1+x)8 展开式中 x2 项为 C2 8x =28x ,(1+y) 展开式中 2 2 2 2 y2 项为 C2 y = 6 y ,所以 x y 的系数为 28×6=168.故选 D.] 4

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

课时作业


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