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广东省梅州市2014届高三3月总复习质检数学(理)试题Word版含解析

广东省梅州市2014届高三3月总复习质检数学(理)试题Word版含解析

梅州市高三总复习质检试卷(2014.3)

数学(理科)

一、选择题.

1.设集合 M={x|x2+x-2<0, x ? R },N={x|0<x≤2},则 M∩N=(



A、(-1,2)

B、(-2,1]

C、(0,1]

D、(0,1)

2.在复平面内,复数 5i 的对应点位于(



2?i

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

3.下列命题中的假命题是( A.?x ? R, 2x?1 ? 0 D.?x?R, tan x ? 2

) B.?x ? N*,(x ?1)2 ? 0

C.?x? R,ln x ?1

4.已知向量 a ? (?1,1), b ? (3, m), 若a (a+b).则m =( )

A、2

B、-2

C、-3

D、3

5.阅读右面的程序框图,则输出的 S=( )

A、14

B、20

C、30

D、55

【答案】C 【解析】 试题分析:第一次循环, s ?1,i ? 2, 第二次循环, s ?1? 4 ? 5,i ? 3, 第三次循环, s ? 5 ? 9 ?14,i ? 4, 第四次循环, s ?14 ?16 ? 30,i ? 5 ? 4, 结束循环,输出 s ? 30. 考点:循环结构程序框图.

6.已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是( )

A、 1 2

B、 1 6

C、 1 12

D、 1 18

7.如图,设 D 是图中连长为 2 的正方形区域,E 是函数 y=x3 的图象与 x 轴及 x=±1 围成的 阴影区域,向 D 中随机投一点,则该点落入 E 中的概率为( )
8.在实数集 R 中定义一种运算“*”,对于任意给定的 a,b∈R,a*b 为唯一确定的实数,且具 有性质;

(1)对任意 a,b∈R,a*b=b*a;(2)对任意 a∈R,a*0=a;

(3)对任意 a,b∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.

关于函数 f(x)= (2x)* 1 的性质,有如下说法: 2x

①函数 f(x)的最小值为 3;②函数 f(x)为奇函数;

③函数 f(x)的单调递增区间为(?∞, ? 1 ),( 1 , +∞). 22

其中所有正确说法的个数为( )

A、0

B、1

C、2

D、3

【答案】B

【解析】

二、填空题
(一)必做题(9-13 题)
?x ?1, x ? 0 9.函数 f (x) ? ??2x ? x, x ? 0 ,则 f ( f (0)) 的值为____________.
10. (2x ?1)5 的展开式中 x3 的项的系数是____________.(用数字作答)

11.已知双曲线 C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆 x2 ? y2 ? 1 的长轴的端点、焦点,则双曲线 25 16
C 的方程是____________.
【答案】 x2 ? y2 ? 1 9 16

12. 已知集合 A={x|x2-2x-3>0 },B={x|ax2+bx+c≤0},若 A∩B={x|3<x≤4},

A∪B=R,则 b2 a

?

a c2

的最小值为____________.

13.已知函数 f(x)=x-[x],其中[x]表示不超过实数 x 的最大整数,若关于 x 的方程

f(x)=kx+k 有三个不同的实根,则实数 k 的取值范围是____________.

考点:根据函数图像求交点个数

(二)选题题(14-15 题,只能选做一题)

14.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系

xoy

中,直线

l

的参数方程是

?x

? ?

y

? ?

t ?3 3?t

(参数

t? R),圆

C

的参数方程是

? ? ?

x y

? ?

2 cos? 2 sin ?

(参数θ
?2

? R),则圆

C

的圆心到直线

l



距离为____________.

15.(几何证明选讲选做题)如右图,从圆 O 外一点 P 引圆 O 的割线 PAB 和 PCD,PCD 过圆

心 O,已知 PA=1,AB=2,PO=3,则圆 O 的半径等于____
【答案】 6
【解析】
试题分析:设半径为 r ,则 PC ?PO ?PC ? 3?r , PD ? PO ? OD ? 3? r .根据割线定理 可得 PA? PB ? PC ? PD ,即1? (1? 2) ? (3 ? r)(3 ? r) ,所以 9 ? r2 ? 3, r2 ? 6 ,所以 r? 6.
考点:切割线定理.
三、解答题 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? Asin(?x ??)(A ? 0,? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图象
2
如图所示。 (1)求函数 f(x)的解析式,并写出 f(x)的单调减区间;
(2)△ABC 的内角分别是 A,B,C,若 f(A)=1,cosB= 4 ,求 sinC 的值。 5

由图象可得 f (x) 的单调减区间为[k? ? ? , k? ? 2? ],k ? Z . ……6 分

6

3

17.(本小题满分 12 分)某班共有学生 40 人,将一次数学考试成绩(单位:分)绘制成频 率分布直方图,如图所示. (1)请根据图中所给数据,求出 a 的值; (2)从成绩在[50,70)内的学生中随机选 3 名学生,求这 3 名学生的成绩都在[60,70) 内的概率; (3)为了了解学生本次考试的失分情况,从成绩在[50,70)内的学生中随机选取 3 人的 成绩进行分析,用 X 表示所选学生成绩在[60,70)内的人数,求 X 的分布列和数学期望.

【答案】(1) a ? 0.03 ,(2) 28 (3) EX ? 27 .

55

11

X

1

2

3

3

24

28

P

55

55

55

【解析】 试题分析:(1)利用频率分布直方图中各小长方形面积表示概率,且所有小长方形面积和为
1,得等量关系 a ? 1? (0.005 ? 0.0075 ? 0.0225 ? 0.035)?10 ? 0.1? 0.07 ? 0.03 ,(2)先 10
确定成绩在[50, 70) 内的学生

(2)学生成绩在[50, 60) 内的共有 40×0.05=2 人,在[60, 70) 内的共有 40×0.225=9 人,

成绩在[50, 70) 内的学生共有 11 人.

……………4 分

设“从成绩在[50, 70) 的学生中随机选 3 名,且他们的成绩都在[60, 70) 内”为事件 A,



P( A)

?

C93 C131

?

28 55



所以选取的 3 名学生成绩都在[60, 70) 内的概率为 28 . 55

………6 分

(3)依题意, X 的可能取值是 1,2,3.

………………7 分

P( X ? 1) ? C22C91 ? 3 ; C131 55

P( X

? 2) ?

C21C92 C131

?

24 55



P(X ? 3) ? P( A) ? 28 . 55
所以 X 的分布列为

……………10 分

X

1

3 P
55 EX ? 1? 3 ? 2? 24 ? 3? 28 ? 27 .
55 55 55 11

考点:频率分布直方图, 分布列和数学期望.

2

3

24

28

55

55

…………………12 分

18.(本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为平行四边形,BC⊥平面 PAB,
AB=BC= 1 PB,∠APB=30°,M 为 PB 的中点。 2
(1)求证:PD∥平面 AMC; (2)求锐二面角 B-AC-M 的余弦值。

【答案】(1)详见解析. (2) 7 . 7

解:(1)证明:连接 BD ,设 BD 与 AC 相交于点 O ,连接 OM , 四边形 ABCD 是平行四边形,∴点 O 为 BD 的中点.

∵ M 为 PB 的中点,∴ OM 为 ?PBD 的中位线,

∴ OM ?? PD .

………… 4 分

∵ OM ? 平面AMC , PD ? 平面AMC ,

∴ PD ?? 平面AMC .

……………6 分

………… 2 分

在 Rt?MGF 中, cos?MGF ? GF ? MG

2

2

?

7
.

3? 1 7

2

二面角 B ? AC ? M 的余弦值为 7 . 7
考点:线面平行判定定理,二面角的求法.

………… 14 分

19.(本小题满分 14 分)设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn,已知 an?1 ? 2Sn ? 2(n ? N*) 。 (1)求数列{ an }的通项公式; (2)在 an 与 an?1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成一个公差为 d 的等差数列。 (I)在数列{ dn }中是否存在三项 dm , dk , d p (其中 m,k,p 是等差数列)成等比数列?若
存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由;

(II)求证: 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 15 (n ? N*) .

d1 d2 d3

dn 16

两式相减: an?1 ? 3an (n ? N *,n ? 2) .

………………2 分

又 a2 ? 2a1 ? 2 ,

因为数列?an? 是等比数列,所以 a2 ? 2a1 ? 2 ? 3a1 ,故 a1 ? 2 .

所以 an ? 2 ? 3n?1 .

………………4 分

(Ⅱ)令 Tn

?

1 d1

?

1 d2

?

1 d3

? ...... ?

1 dn



两式相减:

Tn

?

2 4 ?30

?

3 4 ?31

?

4 4 ?32

? ...... ?

n ?1 4 ? 3n?1

,

1

23 4

n ?1

3 Tn ? 4 ?31 ? 4 ? 32 ? 4 ? 33 ? ...? 4 ? 3n ,

…………11 分

2

211

1 n ?1

3 Tn ? 4 ?30 ? 4 ?31 ? 4 ?32 ? ...... ? 4 ?3n?1 ? 4 ?3n

?

1 2

?

1 4

?

1 3

???1

?

1 3n?1

1? 1

? ??

?

n ?1 4 ? 3n

3

? 5 ? 2n ? 5 8 8 ?3n

…………13 分

Tn

?

15 16

?

3(2n ? 5) 16 ? 3n

?

15 . . 16

考点:等比数列通项,错位相减法求和.

………………14 分

20.(本小题满分 14 分)如图,椭圆 x2 ? y2 ? 1(0 ? m ? 1) 的左顶点为 A,M 是椭圆 C 上异 m

点 A 的任意一点,点 P 与点 A 关于点 M 对称。
(1)若点 P 的坐标为 (9 , 4 3 ) ,求 m 的值; 55
(2)若椭圆 C 上存在点 M,使得 OP⊥OM,求 m 的取值范围。

【答案】(1)

m

?

4 7

,(2)

? ???

0,

1 2

?

3 4

?
? ?

.

因为

A

?

?1,

0

?

,

P

? ???

9 5

,

4

3 5

? ???



所以

点M

的坐标为

? ???

2 5

,

2

5

3

? ???



………2 分

由点 M 在椭圆 C 上,

所以 4 ? 12 ? 1,解得 m ? 4 .

25 25m

7

…………4 分

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=ax2+ln(x+1)。
(1)当 a=- 1 ,求函数 f (x) 的单调区间; 4

(2)当 x ?[0, ??) 时,函数

y=f(x)图象上的点都在

?x

? ?

y

? ?

0 x

?

0

所表示的平面区域内,

求实数 a 的取值范围。 (3)求证: (1? 2 )(1? 4 )(1? 8 ) ?
2?3 3?5 5?8

? [1 ?

(2n?1

2n ? 1)(2n

] ? 1)

?

e

(e

为自然对数的底数)

(2)因函数

f

(x)

图象上的点都在

?x

? ?

y

? ?

0, x?

0

所表示的平面区域内,则当

x ?[0, ??)

时,

不等式 f (x) ? x 恒成立,即 ax2 ? ln(x ?1) ? x ? 0 恒成立,

设 g(x) ? ax2 ? ln(x ? 1) ? x ( x ? 0 ),只需 g(x)max ? 0 即可.

…… 4 分

由 g?(x) ? 2ax ? 1 ?1 ? x[2ax ? (2a ?1)] ,

x ?1

x ?1

(ⅰ)当 a ? 0 时, g?(x) ? ?x ,当 x ? 0 时, g?(x) ? 0 , x ?1

函数 g(x) 在 (0, ??) 上单调递减,故 g(x) ? g(0) ? 0 成立.

………5 分

(ⅱ)当 a ? 0 时,由 g?(x) ? x[2ax ? (2a ?1)] ? 0 ,因 x ?[0,??) ,所以 x ? 1 ?1 ,

x ?1

2a

① 1 ?1 ? 0 ,即 a ? 1 时,在区间 (0, ??) 上, g?(x) ? 0 ,则函数 g(x) 在 (0, ??) 上单

2a

2

调递增, g(x) 在 [0,??) 上无最大值(或:当 x ? ?? 时, g(x) ? ?? ),此时不满足条件;
考点:利用导数求单调区间,不等式恒成立,利用导数证明不等式.


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