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(新人教A版)2018-2019学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2第2课时空间向量与空间角课件选修2-1_图文

(新人教A版)2018-2019学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2第2课时空间向量与空间角课件选修2-1_图文

第 2 课时 空间向量与空间角 1.理解直线与平面所成角的概念. 2.能够利用向量方 法解决线线、线面、面面的夹角问题. 3.体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲. 空间角及向量求法 角的分类 向量求法 设两异面直线所成的角 异面直线所成 为 θ,它们的方向向量为 的角 a,b,则 cos θ=|cos〈a, |a·b| b〉|=_|a_|_|b_|__ 范围 __???0_,__π2__??? ___ 角的分类 向量求法 范围 设直线 l 与平面 α 所成的 角为 θ,l 的方向向量为 直线与平面所 成的角 a,平面 α 的法向量为 n, 则 sin θ=_|c_o_s_〈__a_,__n_〉__| |a·n| =_|_a_||n__| ______ _???0_,__π2__??? ______ 角的分类 二面角 向量求法 设二面角 α-l-β 的平面角 为 θ,平面 α,β 的法向量 分别为 n1,n2,则|cos θ| =|_c_o_s〈___n_1,___n_2〉___| __= |n1·n2| _|_n_1_||n__2|____ 范围 ___[_0_,__π_]______ (1)由于直线 a、b 所成角 θ∈???0,π2???,故 cos θ=|cos〈a,b〉|. (2)直线 a 与平面 α 所成角 θ∈???0,π2???,由图形知〈a,m〉与 θ 的余角相等或互补,故 sin θ=|cos〈a,m〉|. (3)二面角 α-l-β 的大小 θ∈[0,π],〈n,m〉∈[0,π],但两角 可能相等或互补,因此需借助图形进行判断,判断后再解释结 论. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1) 两 异 面 直 线 所 成 的 角 与 两 直 线 的 方 向 向 量 所 成 的 角 相 等.( ) (2)若向量 n1,n2 分别为二面角的两半平面的法向量,则二面 角的平面角的余弦值为 cos〈n1,n2〉=|nn11|·|nn22|.( ) (3)直线与平面所成角的范围为???0,π2???.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× 若直线 l1 的方向向量与 l2 的方向向量的夹角是 150°,则 l1 与 l2 这两条异面直线所成的角等于( ) A.30° B.150° C.30°或 150° D.以上均错 答案:A 已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向 量,若 cos〈m,n〉=-12,则直线 l 与平面 α 所成的角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案:A 已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1), 则两平面所成的二面角的大小为________. 答案:45°或 135° 探究点 1 求两条异面直线所成的角 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD,AB⊥BC,AB⊥AD,且 PA=AB=BC=12AD=1,求 PB 与 CD 所成 的角. 【解】 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1), 所以B→P=(-1,0,1),D→C=(1,-1,0), cos〈B→P,D→C〉= →→ BP·DC →→ = |BP||DC| -2·1 2=-12, 所以〈B→P,D→C〉=120°, 故 PB 与 CD 所成的角为 60°. 求异面直线夹角的方法 (1)传统法:作出与异面直线所成角相等的平面角,进而构造 三角形求解. (2)向量法:在两异面直线 a 与 b 上分别取点 A、B 和 C、D, 则A→B与C→D可分别为 a、b 的方向向量,则 cos →→ θ=|A→B·C→D|. |AB||CD| 运用向量法常有两种途径: ①基底法 在一些不适合建立坐标系的题型中,我们经常采用取定基底 的方法,这是小技巧.在由公式 cos〈a,b〉=|aa|·|bb|求向量 a、 b 的夹角时,关键是求出 a·b 及|a|与|b|,一般是把 a、b 用基 向量表示出来,再求有关的量. ②坐标法 根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的 坐标,利用坐标法求线线角,避免了传统找角或作角的步骤, 使过程变得简单. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E, F 分别是 D1D,BD 的中点,G 在棱 CD 上,且 CG=14CD, H 是 C1G 的中点.利用空间向量解决下列问题: (1)求 EF 与 B1C 所成的角; (2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值; (3)求 F,H 两点间的距离. 解:如图,以D→A,D→C,D→D1为单位正 交基底建立空间直角坐标系 Dxyz,则 D(0,0,0), E???0,0,12???,F???12,12,0???, C(0,1,0),C1(0,1,1),B1(1,1,1), G???0,34,0???. (1)易得E→F=???12,12,-12???,B→1C=(-1,0,-1), 则E→F·B→1C=???12,12,-12???·(-1,0,-1) =12×(-1)+12×0+???-12???×(-1)=0. 所以E→F⊥B→1C,即 EF⊥B1C. 所以 EF 与 B1C 所成的角为 90°. (2)C→1G=(0,-14,-1),则|C→1G|= 417. 又|E→F|= 23,且E→F·C→1G=38, 所以 cos〈E→F,C→1G〉= →→ EF·C1G →→ = |EF||C1G| 3 8 23× = 17 1571. 4 即 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 1571. (3)因为 H 是 C1G 的中点,所以 H???0,78,12

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