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上海市虹口区2018届高三上学期期末教学质量监控数学试题

上海市虹口区2018届高三上学期期末教学质量监控数学试题

虹口区 2017-2018 学年度第一学期教学质量监控测试 高三数学 试卷
2017.12

(时间 120 分钟,满分 150 分) 一.填空题(1~6 题每小题 4 分,7~12 题每小题 5 分,本大题满分 54 分) 1.函数 f ( x) ? lg(2 ? x) 的定义域是 . .


2.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,则 f (?1) ? f (0) ? f (1) ? 3.首项和公比均为

1 的等比数列 ?an ? , Sn 是它的前 n 项和,则 lim S n ? n ?? 2

4.在 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对的边分别是 a, b, c ,若 a : b : c ? 2 : 3: 4 ,则 cos C ? 5.已知复数 z ? a ? bi(a, b ? R) 满足 z ? 1,则 a ? b 范围是 .



6.某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考,要求是 物理、化学、生物这三门至少要选一门,政治、历史、地理这三门也至少要选一门,则该生 的可能选法总数是 .

7.已知 M 、 N 是三棱锥 P ? ABC 的棱 AB , PC 的中点,记三棱锥 P ? ABC 的体积为 V1 ,三 棱锥 N ? MBC 的体积为 V2 ,则

V2 等于________. V1

8.在平面直角坐标系中,双曲线 线的两条渐近线的方程为

x2 ? y 2 ? 1的一个顶点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合,则双曲 2 a


9. 已知 y ? sin x 和 y ? cos x 的图像的连续的三个交点 A 、B 、C 构成三角形 ?ABC , 则 ?ABC 的面积等于__________. 10.设椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过焦点 F1 的直线交椭圆于 M 、 N 两点, 4 3

若 ?MNF2 的内切圆的面积为 ? ,则 S?MNF2 ? ________.

? AC 上 , 且 满 足 11 . 在 ?ABC 中 , D 是 BC 的 中 点 , 点 列 P n (n ? N ) 在 直 线

,若 Pn A? a ? n a? n P D a1 ? 1 ,则数列 ?an ? 的通项公式 an ? n ?1 ? P n B



12.设 f (x) ?x 2 ?2 a? x? b?2

x

,其中 a, b ? N ,x ? R ,如果函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f ( f ( x)) .

都有零点且它们的零点完全相同,则 (a, b) 为
二.选择题(每小题 5 分,满分 20 分)

13.异面直线 a 和 b 所成的角为 ? ,则 ? 的范围是(



A. (0,

?
2

)

B. (0, ? )

C. ( 0 ,

?
2


]

D. (0, ? ]

14.命题:“若 x2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为(

A. 若 x ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1
C. 若 x ? 1 ,则 x ? 1 且 x ? ?1
15.已知函数 f ( x ) ? ?

B. 若 x ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1
D. 若 x ? 1 ,则 x ? 1 且 x ? ?1
,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ?

?2 x

x?0

? f ( x ? 2) x ? 0
B. 1513

? f (2017) ? (
D.

) .

A. 2017

C.

2017 2

3025 2

16.已知 Rt ?ABC 中,?A ? 90? , AB ? 4 , AC ? 6 .在三角形所在的平面内有两个动点 M 和

N ,满足 AM ? 2 , MN ? NC ,则 BN 的取值范围是( A. ?3 2, ?



C

34 ? ?

B. ? 4, 6?

C. ? 2 5, 4 2 ? ? ?
三.解答题(本大题满分 76 分)

2 ?2 ? D. ? 63 ? 12 2 , 63 ? 12 2 ? 3 ?3 ?
A B

17. (本题满分 14 分.第(1)小题 7 分,第(2)小题 7 分.) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,PA ? AC ? PC ? AB ? a ,PA ? AB , AC ? AB ,M 为 AC 的中点. (1)求证: PM ? 平面 ABC ; (2)求直线 PB 和平面 ABC 所成的角的大小.
A M C P

B

18. (本题满分 14 分.第(1)小题 7 分,第(2)小题 7 分.) 已知函数 f ( x ) ? 3 cos( 周期等于 ? . (1)求 ? 的值,并写出此函数的单调递增区间; (2)求此函数在 x ? [0,

?
2

? ? x ) ? cos(2? ? ? x ) ,其中 x ? R ,? ? 0 ,且此函数的最小正

?
2

] 的最大值和最小值.

19. (本题满分 14 分.第(1)小题 7 分,第(2)小题 7 分.) 如图, 阴影部分为古建筑群所在地, 其形状是一个长为 2 km , 宽为 1 km 的矩形, 矩形两边 AB ,

AD 紧靠两条互相垂直的路上.现要过点 C 修一条直线的路 l ,这条路不能穿过古建筑群,且与另
两条路交于点 P 和 Q . (1)设 AQ ? x ( km ) ,将 ?APQ 的面积 S 表示为 x 的函数; (2)求 ?APQ 的面积 S ( km )的最小值.
2

Q D A C B

P

20. (本题满分 16 分.第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分.) 已知平面内的定点 F 到定直线 l 的距离等于 p( p ? 0) ,动圆 M 过点 F 且与直线 l 相切,记圆 心 M 的轨迹为曲线 C .在曲线 C 上任取一点 A ,过 A 作 l 的垂线,垂足为 E . (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)记点 A 到直线 l 的距离为 d ,且

3p 4p ?d ? ,求 ?EAF 的取值范围; 4 3

(3)判断 ? EAF 的平分线所在的直线与曲线的交点个数,并说明理由.

l
E A

F

21. (本题满分 18 分.第(1)小题 4 分,第(2)小题 7 分,第(3)小题 7 分.) 已知无穷数列 ?an ? 的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn , a1 ? 4 .
2 (1)如果 a2 ? 2 ,且对于一切正整数 n ,均有 an ? an?2 ? an ?1 ,求 Sn ;

(2)如果对于一切正整数 n ,均有 an ? an?1 ? Sn ,求 Sn ; (3)如果对于一切正整数 n ,均有 an ? an?1 ? 3Sn ,证明: a3n?1 能被 8 整除.

虹口区 2017 学年度第一学期高三年级数学学科 期终教学质量监控测试题答案
一、填空题(1~6 题每小题 4 分,7~12 题每小题 5 分,本大题满分 54 分) 1、 (??,2) ; 2、0; 3、1;
1 4、 ? ; 4

5、 ? ? ,

? 1 ? 2

1? ; 2? ?

6、18;

7、

1 ; 4
8、 y ? ?

1 x; 3

9、 2? ;

10、 4;

11、an ? ( ? ) n ?1 ;

1 2

12、(0, 0) ,(1,

0) ;

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 13、 C ; 14、 C ; 15、 D ; 16、 B ;

三、解答题(本大题满分 76 分) 17 、 ( 14 分) 解 : ( 1 )

?PAC 为等边三角形, M 为 AC 的中点,
P

? PM ? AC .………………2 分
? 又 PA ? AB , AC ? AB , 且 P A PAC .…………4 分
又 PM 在平面 PAC 内,所以 BA ? PM .…………6 分

A? C

A ? BA ? 平 面 ,
A M C

AB ? AC ? A , 且 B A? P M , PM ? AC , ? PM ? 平 面 ABC .…………7 分

B

(2) 连结 BM .由(1)知 PM ? 平面 ABC ,? ?PBM 是直线 PB 和平面 ABC 所成的角.…
9分

?PAC 为等边三角形,? PM ?

3 a. 2

?PAB 为等腰直角三角形,且 ?PAB ?

?
2

,? PB ?

2a .

3 a 6 6 PM ? BM ,? sin ?PBM ? 2 ? , ?PBM ? arcsin .……13 分 4 4 2a

?直线 PB 和平面 ABC 所成的角的大小等于 arcsin
18 、 ( 14 分 )

6 .………………14 分 4
解 : ( 1 )

f ( x ) ? 3 cos( ? ? x ) ? cos(2? ? ? x ) ? 3 sin ? x ? cos ? x ? 2sin(? x ? ) 2 6
……………………3 分 由? ?

?

?

2?

?

,且 ? ? 0 ,? ? ? 2 .………………4 分

? ? f ( x ) ? 2sin(2 x ? ) 6 ? ? ? ? ? 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , 解 得 k? ? ? x ? k? ? ,?单调递增区间为 2 6 2 3 6 ? ? [k? ? , k? ? ], k ? Z .……………………7 分 3 6 ? ? ? 7? (2)由 0 ? x ? ,得 ? 2 x ? ? . 2 6 6 6 ? ? ? ? 2 x ? ? ,即 x ? 时,取得最大值 2.…………11 分 6 2 6 ? 7? ? ,即 x ? 时,取得最小值 ?1 .…………14 分 ? 2x ? ? 6 6 2 QD DC ? D ?x ? 1 ,CB ? 1 ,DC ? 2 , 19、 (16 分)解: (1) ?QDC ∽ ?CBP ,? .又 Q CB BP x ?1 2 2 Q ? ,? BP ? .………………………5 分 ? 1 BP x ?1
? S?APQ ? 1 2 x2 x ? (2 ? )? ( x ? 1) ………………7 分 2 x ?1 x ?1
D A C B

(2)设 t ? x ? 1 ? 0,

P

S?APQ ?

x2 (t ? 1)2 t 2 ? 2t ? 1 1 ? ? ? t ? ? 2(t ? 0) ……………………………10 分 x ?1 t t t

1 1 t ? ? 2,? S?APQ ? t ? ? 2 ? 4 t t
2 当且仅当 t ? 1, 即 x ? 2 时, S?APQ 取得最小值 4 km .……………………………14 分

20、 (16 分)解: (1)过点 F 与 l 垂直的直线为 x 轴, x 轴与直线 l 的交点为 G 点,以 G , F 的 中点为原点建立直角坐标系. 设 M ( x, y ) ,

l
E A

M 到定点 F 与到定直线 l 的距离相等,

l:x??
2

p p p p , F ( ,0) ? | x ? |? ( x ? )2 ? y 2 2 2 2 2

F

化简得: y ? 2 px( p ? 0) …………………………………………4 分

p p F ( , 0), E (? , y0 ) 2 2 p p ? AE ? ( ? ? x0 ,0), AF ? ( ? x0 , ? y0 ), ……………………6 分 2 2 p p p2 p 2 ( ? ? x )( ? x ) x ? x ? 0 0 0 0 AE ? AF 2 4 ? 2 ? 1 ? p ……8 分 ? cos ?EAF ? ? 2 ? p p p p | AE || AF | | x0 ? |2 ( x0 ? )2 x0 ? x0 ? 2 2 2 2 p p 3p 4p p 1 1 d ? x0 ? , ? cos ?EAF ? 1 ? , ?d ? ,? cos ?EAF ? 1 ? ? [? , ] 2 d 4 3 d 3 4 1 1 ? arccos ? ?EAF ? arccos( ? ) .……………………10 分 4 3 p p (3)设 A( x0 , y0 ), F ( , 0), E (? , y0 ) , EF ? ( p, ? y0 ) . 2 2
(2)设 A( x0 , y0 ), 由 AE ? AF ,得 ? EAF 的平分线所在的直线方程就是 ?EAF 边 EF 上的高所在的直线方 程.……………………12 分

? ?EAF 的平分线所在的直线方程为 p( x ? x0 ) ? y0 ( y ? y0 ) ? 0 .
由?

? p( x ? x0 ) ? y0 ( y ? y0 ) ? 0 ? y ? 2 px
2

2 ,消 x 得 y2 ? 2 y0 y ? 2 px0 ? 2 y0 ?0.

2 2 2 y0 ? 2 px0 ,? ? ? 4 y0 ? 4(?2 px0 ? 2 y0 ) ? 0.

? ?EAF 的平分线所在的直线与曲线有且只有一个交点.………………16 分

2 21、 (18 分)解:(1) 数列 ?an ? 的各项均为正数,由 an ? an?2 ? an ?1 ,得

an? 2 an?1 , ? an?1 an

1 4[1 ? ( ) n ] a 1 2 ? 8 ? ( 1 ) n ?3 .………4 分 ? 数列 ?an ? 是等比数列,公比 q ? 2 ? ,从而 Sn ? 1 a1 2 2 1? 2
(2) 由 an ? an?1 ? Sn 得 an?1 ? an?2 ? Sn?1 ,两式相减得 an?1 (an?2 ? an ) ? an?1 , 此数列各均为正数, 由 ? an?2 ? an ? 1 , ? 数列 ?a2n?1? 和数列 ?a2 n ? 均是公差为 1 的等差数列.

a1 ? a2 ? S1 ? a1 ,得 a2 ? 1 .……………………6 分
当 n 为偶数时, Sn ? (a1 ? a3 ?

? an?1 ) ? (a2 ? a4 ?

? an )

n 1 n n n 1 n n 1 ? 4 ? ? ? ? ( ? 1) ? ? ? ? ( ? 1) ? n 2 ? 2n 2 2 2 2 2 2 2 2 4

当 n 为奇数时, S n ? S n ?1 ? an ?1 ?

1 n ?1 1 2 7 (n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) ? ? n ? 2n ? 4 2 4 4

7 ?1 2 n ? 2n ? , n为奇数 ? ?4 4 .…………………………11 分 ? Sn ? ? ? 1 n 2 ? 2n, n为偶数 ? ?4
(3) 由 an ? an?1 ? 3Sn 得 an?1 ? an?2 ? 3Sn?1 ,两式相减得 an?2 ? 3an?1 ? an .

a1 ? 4 ,得 a1 ? a2 ? 3S1 ? 3a1 , a2 ? 8 . a3 ? 3a2 ? a1 ? 28
以下证明:对于 n ? N ,a3n ?2 被 8 除余数为 4, a3n?1 被 8 整除,a3n 被 8 除余数为 4.………… 13 分 当 n ? 1 时, a1 ? 4 , a2 ? 8 , a3 ? 28 ,命题正确. 假设 n ? k (k ? N ) 时, 命题正确, 即 a3k ?2 ? 8m1 ? 4 , a3k ?1 ? 8m2 , a3k ? 8m3 ? 4 其中 m1 ? N ,
?
?

m2 , m3 ? N ? .
那么, a3k ?1 ? 3a3k ? a3k ?1 ? 3(8m3 ? 4) ? 8m2 ? 8(3m3 ? m2 ? 1) ? 4 , 3m3 ? m2 ? 1 为正整数,

? a3k ?1 被 8 除余数为 4.
a3k ?2 ? 3a3k ?1 ? a3k ? 3(3a3k ? a3k ?1 ) ? a3k ? 10a3k ? 3a3k ?1 ? 8(10m3 ? 3m2 ? 5) . 10m3 ? 3m2 ? 5 为正整数,? a3k ?2 能被8整除. a3k ? 3 ? 3 a 3 ? a k3? ? 1 0a k? 3? 1 3a k ?3 3 3 a k ?3 1 0 a? k k? 2 1 3 ( 3a k ? 3 ? 1 a k )3? a k ? 3 ?1 ? 8(33m3 ? 10m2 ? 16) ? 4 .
即 n ? k ? 1 时,命题也正确. 从而证得,对于一切正整数 n , a3n?1 能被8整除.………………18 分
3 1

33m3 ? 10m2 ? 16 为正整数,? a3k ?3 被 8 除余数为 4.


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