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四川省成都市2018届高三第三次诊断性检测文科数学试题 word版

四川省成都市2018届高三第三次诊断性检测文科数学试题 word版


成都市 2015 级高中毕业班第三次诊断性检测

数学(文科)
本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷(选择题,第Ⅱ卷(非选择题) ,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,只将答题卡交回。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求. 1.设全集 U =?0, 1, 2, 3? ,集合 A ? x ? N ? x ? 1?? x ? 3? ? 0 ,则集合 ? U A 中元素的个数 是( ) A. 1 【答案】 A B. 2 C. 3 D. 4

?

?

【解析】由题意得 A ? ?1,2,3? ,所以 ? U A ? ?0? ,故选 A. 考点:集合的基本运算. 2.若复数 z ? A. ? 2 【答案】 C

a?i ( i 是虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值为( 1? i B. ?1 C. 1 D. 2



【解析】 因为 z ?

a ? i ? a ? i ??1 ? i ? a ? 1 ? ? a ? 1? i ? ? 是纯虚数, 所以 a ? 1 ? 0 , 即 a ? 1, 1? i 2 2

故选 C. 考点:1、复数的运算,2、纯虚数的概念. 3.命题“ ?x ? ?1, ??? , x ? 1 ? ln x ”的否定是( A. ?x ? ?1, ??? , x ? 1 ? ln x C. ?x0 ? ?1, ??? , x0 ? 1 ? ln x0 【答案】 D 【解析】“ ?x ? ?1, ??? , x ? 1 ? ln x ”的否定是“ ?x0 ? ?1, ??? , x0 ? 1 ? ln x0 ”,故选 )

B. ?x ? ?1, ??? , x ? 1 ? ln x D. ?x0 ? ?1, ??? , x0 ? 1 ? ln x0

D. 考点:含一个量词的命题否定.

?1, x ? 0, ? 4.定义符号函数 sgn x ? ?0, x ? 0, 则函数 f ? x ? ? sin x ? sgn x 的图象大致是( ??1, x ? 0, ?



【答案】 B 【解析】用排除法,易知 f ? x ? 是偶函数,故排除 A 选项;当 0 ? x ? ? 时, f ? x ? ? 0 ,故 排除 D 选项;当 ? ? x ? 2? 时, f ? x ? ? 0 ,故排除 C 选项.故选 B. 考点:函数的图象. 5.已知实数 a ? 2 A. c ? a ? b 【答案】A 【解析】易知 1 ? 2
ln 2

ln 2

, b ? 2 ? 2 ln 2 , c ? ? ln 2 ? ,则 a, b, c 的大小关系是(
2



B. c ? b ? a

C. b ? a ? c
2

D. a ? c ? b

? 2 , 2 ? 2 ln 2 ? 2 , 0 ? ? ln 2 ? ? 1 ,所以 c ? a ? b .故选 A.

考点:指数与对数运算及单调性. 6.当 ? ? ?

2 ?? ? ,则 sin ? ? cos ? 的值为( , ? ? 时,若 sin ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? 3 ?2 ?
B. ?



A.

2 3

2 3

C.

4 3

D. ?

4 3

【答案】C

n ? ? ?? 【 解 析 】 由 诱 导 公 式 得 s i?
2 s i ?n

? c? o s ?? ??
2

2 ?? s i n? ? c o? s 所 以 , 3
16 , 又 9

? c? o? s

7 9



? sin ? ? cos ? ?

2

? ? sin ? ? cos ? ? ? 4sin ? cos ? ?

? ? ? ? ? , ? ? ,所以 sin ? ? cos ? ? 0 所以 sin ? ? cos ? ? .故选 C. 3 ?2 ?
4
考点:1、诱导公式;2、同角基本关系求值. 7.已知甲袋中有 1 个黄球和 1 个红球,乙袋中有 2 个黄球和 2 个红球.现随机地从甲袋中出 1 个球放入乙袋中,再从乙袋中随机取出 1 个球,则从乙袋中取出红球的概率为( ) A.

?

1 3

B.

1 2

C.

5 9

D.

2 9

【答案】B
1 1 【解析】先从甲袋中取出 1 个球放入乙袋,再从乙袋出 1 个球的总数为 C2 C5 ? 10 ,取出红 1 1 1 1 球的总数为 C1 C3 ? C1 C2 ? 5 ,所以乙袋中取出红球的概率为 P ?

5 1 ? .故选 B. 10 2

考点:古典概型. 8.某企业可生产 A, B 两种产品.投资生产 A 产品时,每生产 100 吨需要资金 200 万元,场 地 200 平方米;投资生产 B 产品时,每生产 100 吨需要资金 300 万元,场地 100 平方米.若 该企业现可使用资金 1400 万元,场地 900 平方米投资生产 A, B 两种产品,则两种产品的量 之和的最大值是( A. 467 吨 【答案】C ) B. 450 吨

C. 575 吨

D. 600 吨

【 解 析 】 设 生 产 A, B 产 品 的 产 量 分 别 为 x , y ( 单 位 : 100 吨 ) ,由题意得约束条件

?200 x ? 300 y ? 1400, ?200 x ? 100 y ? 900, ? 求目标函数 z ? x ? y 的最大值.由约束条件得可行区域(如图) ,其 ? ? x ? 0, ? ? y ? 0,
中 A? 4.5,0? , B ? 3.25, 2.5? , C ? 0,

? 14 ? ?. ? 3?

由可行区域可得目标函数 z ? x ? y 经过 B ? 3.25, 2.5? 时, z 取最大值,故 zmax ? 5.75(100

吨). 故选 C. 考点:线性规划问题. 9.在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 (底面是正三角形,侧棱垂直于底面的棱柱)中,所有棱长之 和为定值 a .若正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的顶点都在球 O 的表面上,则当正三棱柱侧面积取 得最大值 24 时,该球的表面积为( A. 4 3? 【答案】D 【解析】设正三棱柱 ABC ? A1B1C1 底面边长为 x ,侧棱为 y ,则 6 x ? 3 y ? a ,三棱柱
2 1? 6 x? 3 y? a , 当且仅当 ABC ? A1B1C1 侧 面 积 S ? 3 x y. 所 以 S ? 3 x ? y ? ? ? 6? 2 ? 24 2

) C. 12 ? D.

B.

32? 3

64? 3

6x ? 3y ?

a a a , y ? 时,等号成立,所以 a ? 24 , x ? 2 , y ? 4 .所以正三棱 ,即 x ? 2 12 6

柱 ABC ? A1B1C1 的外接球的球心 O 到顶点 A 的距离为 为

4 4 3 ,所以该球的表面积 ?4 ? 3 4

64? .故选 D. 3

考点:1、简单几何体;2、基本不等式. 10. 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F 1 ? ?c,0? ,F 2 ? c,0? .双曲 a 2 b2

线 C 上存在一点 P ,使得 A. 1,1 ? 2

sin ?PF1 F2 a ? ,则双曲线 C 的离心率的取值范围是( sin ?PF2 F1 c
B. 1,1 ? 3



?

?

?

?

C. 1, 2

?

?

D. 1, 3

?

?

【答案】A 【解析】不妨设点 P 在双曲线右支上, 在 △PF1F2 中,由正弦定理得

PF1 PF2 , ? sin ?PF2 F1 sin ?PF1F2

所以

PF2 PF2 a sin ?PF1F2 PF2 a a ? ,所以 , ? ? ,所以 ? 2a c?a sin ?PF2 F1 PF1 c PF1 ? PF2 c ? a

2a 2 2a 2 ? c ? a ,所以 c2 ? 2ac ? a 2 ? 0 ,所以 所以 PF2 ? ,又 PF2 ? c ? a ,所以 c?a c?a
e2 ? 2e ? 1 ? 0,解得 1 ? e ? 1 ? 2 .故选 A.

考点:1 双曲线的性质. 11.已知 P 为 △ABC 所在平面内一点, AB ? PB ? PC ? 0 , PC ? PB ? AB ? 2 ,则

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

△PBC 的面积等于(
A. 3 3 【答案】C

) B. 2 3 C. 3 D. 4 3

【解析】分别取边 BC , AC 的中点 D, E ,则 PB ? PC ? 2PD , AB ? 2 ED , 因为 AB ? PB ? PC ? 0 ,所以 ED ? ? PD ,所以 E , D, P 三点共线,且 ED ? PD ? 1 . 又 PC ? PB ? 2 , 所 以 P D? B C , 所 以 BC ? 2 3 , 所 以 △PBC 的 面 积

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ?
??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ? ??

? ? ??

??? ?

1 S ? ? 2 3 ?1 ? 3 .故选 C. 2
考点:平面向量线性运算. 12. 在关于 x 的不等式 x ? axe ? ae ? 0 (其中 e ? 2.71828? 为自然对数的底数)的解集
2 x x

中,有且仅有两个正整数,则实数 a 的取值范围为( A. ?

) D. ?

? 16 1 ? , 4 ? 5e 2e ? ?

B. ?

? 9 1 ? , ? 3 ? 4e 2e ?

C. ?

? 16 4 ? , 2 4 ? 5e 3e ? ?

? 9 4 ? , 2? 3 ? 4e 3e ?

【答案】D
2 x 【解析】易得不等式 x ? axe ? ae ? 0 ? x ? a ? x ?1? e .
2 x x

设 f ? x ? ? x , g ? x ? ? a ? x ?1? e ,则原不等式等价与 f ? x ? ? g ? x ? .
2 x

若 a ? 0 ,则当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 , g ? x ? ? 0 ,所以原不等式的解集中有无数个正整数, 所以 a ? 0 . 因为 f ? 0? ? 0 , g ? 0? ? a ? 0 ,所以 f ? 0? ? g ? 0? . 当 f ?1? ? g ?1? ,即 a ?

1 时,设 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ?? x ? 2? , 2e
x

则 h? ? x ? ? 2 x ? a ? x ? 2 ? e ? 2 x ?

? x ? 2? ex .
2e

设? ? x?

x ? 2? ex ? ? 2x ? 2e

x ? 3? e x ? ? ? ? ?1? ? 0 , ? x ? 2? ,则 ? ? ? x ? ? 2 ? 2e

所以 ? ? x ? 在 ? 2, ??? 上为减函数,所以 ? ? x ? ? ? ? 2? ? 2 ? 2 ? e? ? 0 , 所以当 x ? 2 时, h? ? x ? ? 0 ,所以 h ? x ? 在 ? 2, ??? 上为减函数,

所以 h ? x ? ? h ? 2 ? ? 4 ? 3ae ? 4 ?
2

3e ? 0, 2

所以当 x ? 2 时,不等式 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,所以原不等式的解集中没有正整数.

? f ?1? ? g ?1? , ?1 ? 2ae, ? ? 2 所以要使原不等式的解集中有且仅有两个正整数,则 ? f ? 2 ? ? g ? 2 ? , 所以 ? 4 ? 3ae , ?9 ? 4 a e 3 , ? ? ? f ? 3? ? g ? 3? , 9 4 解得 3 ? a ? 2 .故选 D. 4e 3e
考点:利用导数研究函数的性质解决不等式成立问题.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在题后横线上. 13.已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 1 ,那么这个圆心角所对的弧长是 .

1 【答案】 sin1

1 1 1 【解析】设半径为 R ,则 2 ? sin1 ,所以 R ? ,弧长 l ? ? R ? 2 R ? . 2 sin1 sin1 R
考点:弧度制的概念. 14.在 △ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 3 3 , b ? 3 , A ? 则角 C 的大小为 .

? , 3

? 【答案】 2
【解析】由正弦定理

a b 1 ? ? ? 得 sin B ? ,又 b ? a ,所以 B ? ,所以 C ? . sin A sin B 2 6 2

考点:弧度制的概念.

E 是棱 DD1 的中点,则异面直线 AE 与 BD1 所 15.如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
成角的余弦值为 .

【答案】

15 5

【解析】如图,连接 BD ,取 BD 的中点为 F ,连接 EF , AF ,则 EF ∥ BD1 . 所以 ? AEF (或 ? AEF 的补角)是异面直线 AE 与 BD1 所成角.

2 设正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 棱长为 ,则 AE ? 5 , AF ? 2 , EF ? 3 ,
由余弦定理得 cos ?AEF ?

AE 2 ? EF 2 ? AF 2 15 . ? 2 AE ? EF 5 15 . 5

所以异面直线 AE 与 BD1 所成角的余弦值为

考点:异面直线所成角. 16. 设二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ( a, b, c 为实常数) 的导函数为 f ? ? x ? , 若对任意 x ? R
2

不等式 f ? x ? ? f ? ? x ? 恒成立,则 【答案】 2 2 ? 2

b2 的最大值为 a2 ? c2

.

【解析】由题意得 f ? ? x ? ? 2ax ? b ,所以 f ? x ? ? f ? ? x ? ? ax ? ?b ? 2a ? x ? c ? b ? 0 ,
2

所以二次不等式 ax ? ?b ? 2a ? x ? c ? b ? 0 在 R 上恒成立,
2

所以 ?

? ?a ? 0, ?a ? 0, 即 ? 2 2 2 ? ?? ? ? b ? 2a ? ? 4a ? c ? b ? ? 0, ?b ? 4ac ? 4a .
2 2

?c ? 4 ? ? 1? b 4ac ? 4a a 所以 2 ? 2 2 ? ? 2 ?, 2 a ?c a ?c ?c? ? ? ?1 ?a?


?a ? 0, c ? ? t ,因为 ? 所以 c ? a ,所以 t ? 1 . a ? ?4a ? c ? a ? ? 0,

当 t ? 1 时,

4 ? t ? 1? ? 0; t2 ?1
4 ? t ? 1? 4 4 ? ? ? 2 2 ?2, 2 2 t ?1 2 2 ? 2 ?2 ? t ? 1? ? t ?1

当 t ? 1 时,所以

当且仅当 t ? 2 ? 1 ,即 c ?

?

2 ? 1 a 时,

?

4 ? t ? 1? 取最大值, t2 ?1

故当 b ? 4 2a , c ?
2 2

?

2 ? 1 a 时,

?

b2 取最大值为 2 2 ? 2 . a2 ? c2

考点:1、二次不等式;2、基本不等式. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, S2 , S4 , S3 成等差数列,且 a2 ? a3 ? a4 ? ? . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? n an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

3 8

? 1? 【答案】(I) an ? ? ? ? ? 2?
【解析】

n ?1

; (Ⅱ) Tn ? 4 ?

n?2 . 2n ?1

考点:1、等比数列;2、错位相减法.

18. (本小题满分 12 分) 某企业统计自 2011 年到 2017 年的产品研发费 x 和销售额 y 的数据如下表:

根据上表中的数据作出散点图,得知产品研发费的自然对数值 z (精确到小数点后第二位 ) 和销售额 y 具有线性相关关系.

? ln x ? a ? 的计算结果精确到 ? ?b ? (a ?, b (I)求销售额 y 关于产品研发费 x 的回归方程 y
小数点后第二位); (Ⅱ)根据(I)的结果预则:若 2018 年的销售额要达到 70 万元,则产品研发费大约 需要多少万元?

? ? 11.99ln x ? 21.86 ; 【答案】(I) y (Ⅱ) 55.5 .
【解析】

考点:1、用线性回归方程系数公式求线性方程;2、用样本估计总体解决简单实际问题. 19. (本小题满分 12 分)

? 如图①,在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB ∥ CD , ?ABC ? 60 , CD ? 2 , AB ? 4 ,

点 E 为 AB 的中点; 现将三角形 BEC 沿线段 EC 折起, 形成直二面角 P ? EC ? A ,如图②, 连接 PA, PD 得四棱锥 P ? AECD ,如图③.

(I)求证: PD ? EC ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? AECD 的体积. 【答案】(I)见解析; (Ⅱ) 2 . 【解析】

考点:1、点线面间的垂直关系;2、简单几何体的体积. 20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A ? ?1,0? , B ?1,0 ? ,动点 M 满足 MA ? MB ? 4 . 记动点 M 的轨迹方程为曲线 C ,直线 l : y ? kx ? 2 与曲线 C 相交于不同的两点 P, Q . (I)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)若曲线 C 上存在点 N ,使得 OP ? OQ ? ? ON ? ? ? R ? ,求 ? 的取值范围. 【答案】(I)

??? ? ????

????

x2 y 2 ? ? 1; (Ⅱ) ? ?2,0? ? ? 0,2? . 4 3

【解析】

考点:1、椭圆的方程;2、直线与椭圆的位置关系. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x , g ? x ? ? x ? 1 .若函数 f ? x ? 图象上任意一点 P 关于直线 y ? x 的对称点 Q 恰好在函数 h ? x ? 的图象上. (I)证明: g ? x ? ? h ? x ? ; (Ⅱ)若函数 F ? x ? ?

f ? x? * 在 ? k , ?? ? ? k ? N ? 上存在极值,求 k 的最大值. g ? x ? 1?

【答案】(I)见解析; (Ⅱ) ? ?2,0? ? ? 0,2? .

【解析】

考点:导数在研究函数的极值的应用. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程 在 极 坐 标 系 中 , 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 是 ? ? 4cos ? , 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 是

?? ? ? ?? 点 Q ? ? , ? 在直线 l 上.以极点为坐标原点 O , 极轴为 x 轴的正半轴, 2 ? sin ? ? ? ? ? 1 , 4? ? ? 2?
建立平面直角坐标系 xOy ,且两坐标系取相同的单位长度. (I)求曲线 C 及直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 A, B ,求 QA ? QB 的值.
2 【答案】(I) ? x ? 2 ? ? y ? 4 , x ? y ? 1 ? 0 ; (Ⅱ) 3 2 . 2

【解析】

考点:1、极坐标和直角坐标的互化;2、参数的意义. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 2x ? 1 ? x ? a , a ? R . (I)当 a ? 2 时,解不等式 f ? x ? ? 4 ; (Ⅱ)若不等式 f ? x ? ? 1 的解集为非空集合,求 a 的取值范围. 【答案】(I) ??1,1? ; (Ⅱ) ? ? 【解析】

? 3 1? , ?. ? 2 2?

考点:解含绝对值的不等式.


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