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2012高中数学 第2章2.2.1第一课时等差数列课件 新人教B版必修5_图文

2012高中数学 第2章2.2.1第一课时等差数列课件 新人教B版必修5_图文

2.2

等差数列

2.2.1 等差数列

学习目标

1.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项
公式. 2.运用等差数列的通项公式解决相关问题. 3.难点是能在具体的问题情境中识别数列的 等差关系,并能用有关知识解决相应问题及了 解等差数列与一次函数的关系.

第一课时

课前自主学案 第 一 课 时

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 1.一次函数y=kx+b(k≠0),当自变量x∈N+
时,函数的图象是一群孤立的点,且各点均匀

地分布在直线上.
2.递推公式表示数列中项与项之间的关系.

知新益能 1.等差数列的定义 2 如果一个数列从第__项起,每一项与它的前一

同一个常数 项的差都等于___________ ,那么这个数列就
常数 叫做等差数列,这个_____叫做等差数列的公 差,通常用字母d表示.

思考感悟

1.若把等差数列概念中的“同一个”去掉,
那么这个数列还是等差数列吗?

提示:不一定.

2.通项公式
a1+(n-1)d an= ___________ ,

An+B 推广:an= _______.
an-(n-1)d 变式:a1= ___________ ,

an-am an+1-an d=_________=_______. n-m
由此联想点列{(n,an)}所在直线的斜率为d.

思考感悟

2.要确定一个等差数列的通项公式,需要知
道几个独立条件?

提示:需要知道首项和公差这两个独立条
件.

3.用三种数学语言描述等差数列 (1)文字语言:从第2项起,每一项与它前一项的 差为同一常数. (2)符号语言:an-an-1=d(常数)对任意的n≥2都 成立. (3)图形语言:(n,an)都在以d为斜率的直线上.

课堂互动讲练

等差数列的判定
例1 已知数列的通项公式为an=6n-1,问:

这个数列是等差数列吗?若是等差数列,其 首项与公差分别是多少? 【分析】 由等差数列的定义,只需判断an

+1-an是否为常数.

【解】 =6,

∵an+1-an=[6(n+1)-1]-(6n-1)

∴{an}是等差数列,其首项为a1=6×1-1=5, 公差为6. 【点评】 证明或判断一个数列是否为等差

数列,通常用定义法.

自我挑战 1

正项数列{an}中,a1=1,an+1-

an+1=an+ an. (1)数列{ an}是否为等差数列?说明理由; (2)求 an.

解:(1)数列{ an}是等差数列,理由如下: 由 an+1- an+1=an+ an, 得 an+1-an= an+1+ an,

即( an+1+ an)( an+1- an)= an+1+ an. 由于 an>0,故 an+1+ an>0, ∴ an+1- an=1, 即数列{ an}是首项为 a1=1, 公差为 1 的等差 数列. (2)由上述可知, an= a1+(n-1)· 1=n, ∴an=n2.

通项公式的活用
例2 (2011年三明高二检测)已知等差数列{an}

中,a1 <a2 <a3 <…<an 且a3 ,a6 为方程x2 -

10x+16=0的两个实根,求此数列的首项a1
和公差d.

【分析】

由条件可求得a3,a6,然后利用

通项公式列出方程组可求出a1,d.

【解】 由已知条件得 a3=2,a6=8, 又∵{an}为等差数列,
?a1+2d=2 ?a1=-2 ∴? ,解得? . ?a1+5d=8 ?d=2

∴这个等差数列的首项为-2,公差是 2.

【点评】

在等差数列{an}中,首项a1与公差

d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,
经常需要求出a1、d.

自我挑战2

在等差数列{an}中,a1+a4+a7=

45,a2+a5+a8=29,则a3+a6+a9=(
A.22 B.20

)

C.18

D.13

解析:选D.记a1+a4+a7=45,



a2+a5+a8=29,



②-①得(a2-a1)+(a5-a4)+(a8-a7)=29-45,

即3d=-16.又由①式,得3a1+9d=45,∴3a1
=93.

∴a3+a6+a9=3a1+15d=93+5×3d
=93+5×(-16)=13.

等差数列应用实例
例3

甲虫是行动较快的昆虫之一.下表记录

了某种类型的甲虫的爬行速度. 时间/s 1 2 3 … … ? 49 … … 60 ?

距离/cm 9.8

19.6 29.4

(1)你能建立一个模型,表示甲虫的爬行距离和

时间之间的关系吗?
(2)利用建立的模型,计算甲虫1 min能爬多远?

它爬行49 cm需要多长时间?
【分析】 解决本题的关键在于抓住已知表格

中的数据,分析爬行时间与移动距离的数量关
系,从而得出等差数列模型.

【解】 (1)由表可知:若将距离看作数列,则该 数列从第二项起, 每一项与其前一项的差都是常 数 9.8,所以是一个等差数列模型. 因为 a1=9.8,d=9.8,所以甲虫的爬行距离 l 与 时间 t 的关系是 l=9.8t; (2)当 t=1 min=60 s 时,l=9.8t=9.8×60= 588(cm). l 49 当 l=49 cm 时,t= = =5(s). 9.8 9.8

【点评】

对于实际问题通常需要建立适当

的数学模型.本例能抽象出等差数列模型是 解题的关键,这需要根据表中的数据发现规 律.

自我挑战3

有一批影碟机(VCD)原销售价为

每台800元,在甲、乙两家家电商场均有销 售.甲商场用如下方法促销:买一台单价为 780元,买两台单价为760元,依次类推,每 多买一台则所买各台单价均减少20元,但每 台最少不低于440元;乙商场一律都按原价的 75%销售,某单位需购买一批此类影碟机, 则去哪一家商场购买会使花费较少?

解:设某单位需购买影碟机n台,在甲商场购

买每台售价不低于440元时,售价依台数n成
等差数列{an}.

an=780+(n-1)(-20)=800-20n,
解不等式an≥440,800-20n≥440,得n≤18. 当购买台数小于18时,每台售价(800-20n)元, 当购买台数大于或等于18时,每台售价440元. 到乙商场购买,每台售价为800×75%=

600(元).

当购买n台时,两商场售价之差为: (800-20n)n-600n=20n(10-n).

当n<10时,600n<(800-20n)n;
当n=10时,600n=(800-20n)n; 当10<n≤18时,(800-20n)n<600n; 当n>18时,440n<600n. 所以当购买台数少于10台时,到乙商场购买花

费较少,当购买10台时,到两商场购买花费相
同,当购买多于10台时,到甲商场购买花费较

少.


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