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高中数学新课标人教A版必修1课件:3 本章高效整合_图文

高中数学新课标人教A版必修1课件:3 本章高效整合_图文

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1.函数与方程 (1)结合二次函数的图象,了解函数的零点与 方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性 及根的个数. (2)根据具体函数的图象,能够用二分法求相 应方程的近似解.

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2.函数模型及其应用 (1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长 特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等 不同函数类型增长的含义. (2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂 函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函 数模型)的广泛应用.

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1.函数与方程 (1)函数与方程中函数的零点与二分法是新增内 容,高考考查的可能性较大. (2)多以难度较低的选择、填空题为主,考查函 数的图象及根的存在性问题. 2.函数模型及其应用 (1)函数的实际应用几乎每年的高考题都有涉及 ,主要体现在结合实际问题得到相关的函数模 型,然后利用函数性质求解. (2)分析近几年高考试题可以看出,该类问题以 客观题形式出现的可能性较大,属中档题.若 出现在解答题中一般较难.
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函数的零点与方程根的关系 函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的实数根, 也就 是函数 y=f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标.所以 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有 交点?函数 y=f(x)有零点. 确定函数零点的个数有两个基本方法,一是利用图 象研究与 x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的 交点个数定性判断. 二是判断区间(a, b)上是否有零 点,可应用 f(a)· f(b)<0 判断,但还需结合函数的图 象和单调性,特别是二重根容易漏掉.
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求函数 f(x)=x3+x-1 的零点个数.
解析: f(x)=x3+x-1定义域为R,且是R 上的增函数. f(0)=-1<0,f(1)=1>0,∴f(0)·f(1)<0. ∴f(x)有且只有1个零点.

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求函数 f(x)=x2-2|x|的零 点, 并判断哪些零点是变号零点, 哪些零点是不变号零点?

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解析: ∵f(x)=x2-2|x| ?x2-2x?x>0?, =? 2 ?x +2x?x<0?. 当 x≥0 时,令 f(x)=0,得 x1=0,x2=2. 当 x<0 时,令 f(x)=0,得 x1=0,x2=-2. 所以函数 f(x)共有 3 个零点:-2,0,2. 如图所示,可知函数 f(x)的变号零点为-2,2, 不变号零点为 0.

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函数模型及应用 把握函数模型的分类,熟练掌握不同类型应用 题的解题步骤,比较例题的类型.通过体会实 例来掌握各类应用题的解法.函数模型的应用 实例主要包含三个方面: (1)利用给定的函数模型解决实际问题; (2)建立确定性函数模型解决问题; (3)建立拟合函数模型解决实际问题.

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1.给出函数模型 某民营企业生产 A、B 两种产品,根据 市场调查与预测, A 产品的利润与投资成正比, 其关系如图(1), B 产品的利润与投资的算术平 方根成正比,其关系如图 (2)(注:利润与投资 的单位:万元).

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(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的 函数关系式; (2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A 、B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元 资金,才能使企业获得最大利润,其最大利润 约为多少万元(精确到1万元).

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解析: (1)设投资为 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元, 由题设 f(x)=k1x,g(x)=k2 x, 1 1 由图知 f(1)= ,∴k1= , 4 4 5 5 又 g(4)= ,∴k2= , 2 4 1 5 从而 f(x)= x(x≥0),g(x)= x(x≥0). 4 4

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(2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入(10- x)万元.设企业利润为 y 万元,则有: x 5 y=f(x)+g(10-x)= + 10-x(0≤x≤10), 4 4 令 10-x=t,则 x=10-t2(0≤t≤ 10) 10-t2 5 1 5 2 65 ∴ y= + t=- (t- ) + (0≤t≤ 10), 4 4 4 2 16

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5 65 当 t= 时,ymax= ≈4, 2 16 25 此时 x=10- =3.75. 4 故当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投入 6.25 万元时,企业获得的最大利润约 4 万元.

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2.建立函数模型 为研究病毒细胞的发展规律, 将病毒注 入一只小白鼠体内进行实验,病毒细胞的总数 与天数的关系记录如下表. 已知该种病毒细胞 在小白鼠体内的个数超过 108 的时候小白鼠将 死亡.但注射某种药物,将可杀死其体内该病 毒细胞的 98%.
天数n 1 2 3 4 … 病毒细胞总数y 1 2 4 8 …
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(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡,第一次 最迟应在何时注射该种药物? (2)第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维 持小白鼠的生命?

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解析: (1)由题意,病毒细胞总数关于时间n的 函数关系为y=2n-1,则由2n-1≤108,两边取对数 得(n-1)lg 2≤8,解得n≤27.5,第一次最迟应在 第27天注射该种药物. (2)由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细 胞为226×2%,再经过x天后小白鼠体内病毒细 胞为226×2%×2x,由题意226×2%×2x≤108,两 边取对数得26lg2+lg2-2+xlg2≤8,得x≤6.2, 所以,再经过6天必须注射该种药物,即第二次 应在第33天注射该种药物.

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几种数学思想 1.数形结合思想 若关于 x 的方程 x2+(m-1)x+1=0 在 [0,2]内有解,求 m 的取值范围.
解析: 令 f(x)=x2+(m-1)x+1, 则 f(0)=1>0, f(x)在[0,2]内与 x 轴有交点时的图象如图(1)所 示:

(1)
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?Δ=?m-1?2-4≥0, ? ? 1-m 由图可知, ?0≤ ≤2, 2 ? ?f?2?=4+2?m-1?+1≥0 ? ?f?0?=1>0, 3 ≤m≤-1 或? ? m<- . 2 ?f?2?<0

3 ?- 2

综上,m 的取值范围为(-∞,-1].

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2.分类讨论思想 分类讨论,通俗点讲,就是“化整为零,各个 击破”,或者说是不同情况要采取不同的方法 去解决.分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进 行分类的,采用的标准是什么.分类讨论的原 则是:(1)不重不漏;(2)一次分类只能按所确 定的同一个标准进行.

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试讨论函数f(x)=x2-2|x|-1-a(a∈R)的零 点的个数.

解析: 令 f(x)=0,即 x2-2|x|-1=a.令 g(x) =x2-2|x|-1,h(x)=a,则问题转化为求函数 g(x)与 h(x)交点的个数.

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?x2-2x-1,x≥0, g(x)=? 2 作出函数 g(x)的图 ?x +2x-1,x<0.

象,如图所示. 当 a 在 R 上取值时, 函数 h(x)的图象是一系列 垂直于 y 轴的直线. ①当 a<-2 时, g(x)的图象与 h(x)=a 无交点, 方程 x2-2|x|-1=a 无实根,故函数 f(x)无零 点;

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②当a=-2或a>-1时,g(x)的图象与直线h(x) =a有两个交点,故函数f(x)有两个零点; ③当-2<a<-1时,函数g(x)的图象与直线h(x) =a有四个交点,故函数f(x)有四个零点; ④当a=-1时,函数g(x)的图象与直线h(x)=a 有三个交点,故函数f(x)有三个零点. 综上所述,当a<-2时,无零点;当a=-2或 a>-1时,2个零点; 当-2<a<-1时,4个零点;当a=-1时,3个 零点.

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3.转化与化归思想 设 a∈R,试讨论关于 x 的方程 lg(x- 1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根的个数. ?x-1>0, ? ?3-x>0, 解析: 原方程?? ?a-x>0, ? ??x-1??3-x?=a-x.
?x-1>0, ? 即?3-x>0, ? ??x-1??3-x?=a-x.

整理,得-x2+5x-3=a(1<x<3).
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在同一坐标系中分别作出函数 y=a 及 y=- x2+ 5x- 3, x∈(1,3)的图象,如 图所示: 当 x=1 时,y=1; 当 x=3 时,y=3; 5 13 当 x= 时,ymax= . 2 4

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13 (1)当 a> 或 a≤1 时,函数图象无交点,故原 4 方程无实数根; 13 (2)当 a= 或 1<a≤3 时,函数图象有一个交 4 点,故原方程有一个实数根; 13 (3)当 3<a< 时,函数图象有两个交点,故原 4 方程有两个实数根.

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4.数学建模思想 即将开工的上海与周边城市的城际列 车铁路线将大大缓解交通的压力, 加速城市之 间的流通.根据测算,如果一列火车每次拖 4 节车厢,每天能来回 16 次;如果每次拖 7 节 车厢,则每天能来回 10 次.每天来回次数是 每次拖挂车厢个数的一次函数, 每节车厢一次 能载客 110 人, 试求每次应拖挂多少节车厢才 能使每天营运人数最多, 并求出每天最多的营 运人数.(注:营运人数指火车运送的人数)

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解析: 设这列火车每天来回次数为 t 次,每 次拖挂车厢 n 节, ?16=4k+b, 则 设 t = kn + b , 由 ? 解得 ?10=7k+b
?k=-2, ? ?b=24,

∴t=-2n+24. 设每次拖挂 n 节车厢,每天营运人数为 y 人, 则 y=tn×110×2=2(-220n2+2 640n). 2 640 当 n= =6 时,总人数最多为 15 840 人. 440
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1.函数f(x)=x2+x+3的零点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:,函数 方程x2+x+3=0中,判别式Δ =-11<0,故方程无实根没有零点. 答案: A

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2.某等腰三角形的周长是20,则底边y关于腰 长x的函数的解析式为( ) A.y=20-2x(x≤10) B.y=20-2x(x<10) C.y=20-2x(5≤x≤10) D.y=20-2x(5<x<10) 解析: 由y+2x=20得y=20-2x,由y>0得 ,x<10, 又由2x>y知2x>20-2x,∴x>5. 答案: D

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3.实数a,b,c是图象连续不断的函数y=f(x) 定义域中的三个数,且满足a<b<c,f(a)·f(b)<0, f(b)·f(c)<0,则函数y=f(x)在区间(a,c)上零点 个数为( ) A.2个 B.奇数个 C.偶数个 D.至少2个 解析: 由f(a)·f(b)<0知,区间(a,b)上至少有 一个零点,由f(b)·f(c)<0知在区间(b,c)上至少 有一个零点,故在区间(a,c)上至少有两个零点 .故选D. 答案: D
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4.在某种金属材料的耐 高温实验中,温度随着时 间变化的情况由微机记录 后再显示的图象如图,给 出下面说法. ①前5分钟温度增加的速度越来越快 ②前5分钟温度增加的速度越来越慢 ③5分钟后温度保持匀速增加 ④5分钟后温度保持不变 其中正确的说法是( ) A.①④ B.②④ C.②③ D.①③ 答案: B
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5.函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰有一个零 点,则a的取值范围为________. 解析: ∵方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一 解, ∴f(0)·f(1)<0, 即-1·(2a-2)<0.∴a>1. 答案: a>1

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6.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内 的实根,取区间中点x0=2.5,那么下一个有根 的区间是________.

设 f(x)=x3-2x-5 45 f(2)=-1,f(2.5)= 8 ∵f(2)· f(2.5)<0 ∴下一个有根的区间是(2,2.5) 解析:
答案: (2,2.5)

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7.已知关于x的方程x2+ 2mx+2m+1=0.若方程有 两根,其中一根在区间(- 1,0)内,另一根在区间(1,2) 内,求m的取值范围;

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解析: 令 f(x)=x2+2mx+2m+1, 由题意知抛物线与 x 轴的交点分别在区间(- 1,0)和(1,2)内,如图所示.
?f?0?=2m+1<0 ? ?f?-1?=2>0 得? ?f?1?=4m+2<0 ? ?f?2?=6m+5>0

1 ? ?m<- 2 ? ?m∈R ? ?? 1 ? m< - 2 ? ? 5 ? m> - ? 6



5 1 所以- <m<- . 6 2
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8.某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情 得知,从2月1日起的300天内,西红柿市场售 价与上市时间的关系用图①的一条折线表示; 西红柿的种植成本与上市时间的关系用图②的 抛物线表示. (1)写出图①表示的市场售价与时间的函数关系 式 p = f ( t) ; (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何 时上市的西红柿收益最大?(注:市售价和种 植成本的单位:元/10 kg;时间单位:天)

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解析: (1)市场售价与时间的函数关系为 ?300-t ?0≤t≤200?, f(t)=? ?2t-300 ?200<t≤300?. (2)种植成本与时间的函数关系为 1 2 g(t)= (t-150) +100(0≤t≤300). 200 设 t 时刻纯收益为 h(t),则由题意得, h(t)=f(t)-g(t), 即 h(t)= ? ?- 1 t2+1t+175 ?0≤t≤200?, ? 200 2 2 ? 1 2 7 1 025 ? - t + t- ?200<t≤300?. ? 2 2 ? 200
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当 0≤t≤200 时,配方整理得: 1 h(t)=- (t-50)2+100, 200 所以,当 t=50 时,h(t)取得区间[0,200]上的最 大值 100;当 200<t≤300 时,配方整理得 1 h(t)=- (t-350)2+100, 200 所以,当 t=300 时,h(t)取得区间(200,300]上 最大值为 87.5. 综上可知, h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值 100,此时 t=50,即从 2 月 1 日开始的第 50 天时,上市的西红柿收益最大.
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练规范、练技能、练速度
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