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物理光学(梁铨廷)chip1-4_图文

物理光学(梁铨廷)chip1-4_图文

§1-4球面波和柱面波
前次课内容回顾: 1.波动方程的平面波解: 1.波动方程的平面波解:
v ? E 1 ? 2 2 ?z v v ?2B 1 ? 2 2 ?z v
2

?2E =0 2 ?t v 2 ? B =0 2 ?t

(1) (2)

v v v E = f1 ( z ? vt ) + f 2 ( z + vt )

2.平面简谐波: 2.平面简谐波:

v v E = A cos( kz ? ω t )或 v v z t ? ? E = A cos ? 2π ( ? ) ? λ T ? ?

§1-4球面波和柱面波
3.一般坐标系下的平面波的波函数: 3.一般坐标系下的平面波的波函数:

4.平面简谐波的复振幅: 4.平面简谐波的复振幅:

v v v v E = A cos( k ? r ? ω t ) v v v v E = A exp i (k ? r ? ωt )

[

]

v v v ~ v E = A exp( i k ? r )

§1-4球面波和柱面波
5.平面波的性质 5.平面波的性质 v v (1)电磁波是横波: v ? ?E = 0 ? k ?E = 0 (2) v 和 v互相垂直 v v v v 1v v B 同相: E v 和 同相: k × E = ωB ? B = k × E (3). v ω E v B v v B = ε? k 0 × E v E 1 =v v = B ε?

§1-4球面波和柱面波
除平面波外, 除平面波外,球面波和柱面波也是两种 常见的波。在光学中他们分别由点光源和 线光源产生。 线光源产生。 一 、球面波的波函数: 球面波的波函数: 二、球面波的复振幅: 三、柱面波的波函数:

§1-4球面波和柱面波
一 、球面波的波函数: 球面波的波函数: 点状振动源的振动向周围空间均匀的 传播形成球面波.从对称性考虑, 传播形成球面波.从对称性考虑,这个波的等 相面是球面,并且其上的振幅处处相等. 相面是球面,并且其上的振幅处处相等.由 于随着考察点远离振动源, 于随着考察点远离振动源,等相面的曲率半 径逐渐增大,最后接近于平面, 径逐渐增大,最后接近于平面,所以平面波是 球面波的一种特殊形式

§1-4球面波和柱面波
严格的点状振动源是不存在的, 严格的点状振动源是不存在的,从而理 想的球面波或平面波是不存在的. 想的球面波或平面波是不存在的. 在光学上, 在光学上,当光源的尺寸远小于考察点至 光源的距离时,往往把该光源称为点光源. 光源的距离时,往往把该光源称为点光源. 由它发出的波可以近似当作球面波处理. 由它发出的波可以近似当作球面波处理.

§1-4球面波和柱面波
由于对称性, 由于对称性,可将波动方程转化为球坐标下 的方程。选择振动源作为坐标原点, 的方程。选择振动源作为坐标原点,则知: 波函数A(r,t)只与r有关, 波函数A(r,t)只与r有关,与方位无关 可以证明:这样的波函数 A(r,t) 满足下式: A(r,t)满足下式:
?
2

1 ?2 A (r,t) = [rA ( r , t ) ] 2 r ?r

标准波动方程

?

2

1 ?2 1 ? 2 A(r , t ) [rA ( r , t ) ] = 2 2 r ?r ν ?t 2

1 ? 2 A A = v 2 ?t2

变为:

§1-4球面波和柱面波
?2 1 ? 2 [rA ( r , t ) ] 上式亦可写为: r 2 [rA ( r , t ) ] = ν 2 ?t 2 ?

若将 rA( r , t ) 看成一体,这个方程和一维 波动微分方程有完全相同的形式。 它的解为: rA(r , t ) = B1 (r ? vt ) + B2 (r + vt ) 1 [B ( r ? vt ) + B ( r + vt ) ] A(r, t) = 或 r 此即为球面波波函数的一般形式。 其中 B 1 , B 2 为任意函数。
1 2

§1-4球面波和柱面波
显然,我们最关心简谐球面波这个特殊形 a 式。 则:A( r , t ) = cos [kr ? ω t + ? 0 ] r 假定源点振动的初位相为零,对于电矢量 (此时可看作标量)即 ? 0 = 0 则有: 写成复数形式: 可以看出,球面波的振幅不再是常量,它 与离开波源的距离r 与离开波源的距离r成反比,其等相面为: r=常数 r=常数 的球面。
A1 E = cos( kr ? ω t ) r

A1 E = exp [i ( kr ? ω t ) ] r

§1-4球面波和柱面波
二、球面波的复振幅 二、球面波的复振幅 : ~ 称 E = A1 exp(ikr ) 为球面简谐波的复振幅,
r

并简单的以它代表一个球面简谐波 。 注: 简谐球面波的参量特点: 1. 振幅a/r不是一个常量,它随r 振幅a/r不是一个常量,它随r 增加而减 小但在r 相同的球面上, 振幅是均匀的。 小但在 r 相同的球面上 , 振幅是均匀的 。 A 是 一个常量,代表r=1处的振幅, 一个常量,代表r=1处的振幅,表征振动源的 强弱,称为源强度。 强弱,称为源强度。

§1-4球面波和柱面波
2. 位相: 球面波的位相是 ? = kr ? kvt + ?0 即?仅仅是r的函数,并指出了v的含义 仅仅是r的函数,并指出了v dr v = dt 说明v是沿球面径向的位相传播速率。 说明v是沿球面径向的位相传播速率。 当等相面自球心向外传播时v>0 当等相面自球心向外传播时v>0,称为发散 球面波,当等相面向球心会聚时v<0 球面波,当等相面向球心会聚时v<0称为 会聚球面波。 会聚球面波。
d ? = 0

§1-4球面波和柱面波
K仍为波数:
k = ± 2π

代表发散波和会聚波。 代表发散波和会聚波。 ± 由于球面波振幅随r增大而减小, 由于球面波振幅随r增大而减小, 故严格说来: 球面波波函数不成现严格的空间周期性, 球面波波函数不成现严格的空间周期性,

λ

§1-4球面波和柱面波
3。简谐球面波在平面上的近似表达式 : 在光学中,通常要求解球面波在某个平面 上的复振幅分布。例如,在直角坐标系xyz 上的复振幅分布。例如,在直角坐标系xyz 中波源s坐标为x 中波源s坐标为x0,y0,z0我们来求解它发出的 球面波在z 球面波在z=0平面上的复振幅分布。 由于s z=0平面上任意点p(x,y)的距离为 由于s到z=0平面上任意点p(x,y)的距离为
r = ( x ? x0 ) + ( y ? y0 ) + z0
2 2

[

1 2 2

]

§1-4球面波和柱面波
由 时复振幅的表示式知: ? =0 在z=o平面上的振幅分布为: z=o平面上的振幅分布为:
0

~ E=

此式较复杂不便应用,实际中往往进行近 似处理。

[

A1 2 exp ?ik ( x ? x0 ) 2 + ( y ? y 0 ) 2 + z 0 ? 2 ? ? ? ? ( x ? x0 ) 2 + ( y ? y 0 ) 2 + z 0

]

§1-4球面波和柱面波
三、 柱面波的波函数: 柱面波是由无限长同步线状振动源( 柱面波是由无限长同步线状振动源(同步 线源)产生的波动。 线源)产生的波动。 所谓同步线源是指这样一种振动源:在整 条直线上所有点都是一个点源, 条直线上所有点都是一个点源,各个点源 的振动完全相同, 简谐振动下各点的初 的振动完全相同,在简谐振动下各点的初 位相,频率和振幅完全相同。 位相,频率和振幅完全相同。 在光学上可以用平面波照亮一个极细的长 缝来获得近似的柱面波。 缝来获得近似的柱面波。

§1-4球面波和柱面波
需要注意的是, 需要注意的是 , 一般单色线光源不产生柱 面波,因其上各点的振动不是同步的。 面波,因其上各点的振动不是同步的。 柱面波波函数应在柱面坐标系中描述,它 的波函数可写为
(? 0 = 0 ) r 其复振幅为 ~ A1 E= exp(ikr ) A1为线光源的强度。 r E =

A

1

exp [i ( kr ? ω t ) ]


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