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高中数学必修五课件:1.1.2-2《余弦定理》(人教A版必修5)

高中数学必修五课件:1.1.2-2《余弦定理》(人教A版必修5)


?第2课时

余弦定理

1.余弦定理:三角形中任何一边的平方等 于其他两边的平方的和减去这两边与它们 的夹角的余弦的积的两倍.即 ? 若a、b、c分别是△ABC的顶点A、B、C所 b2+c2-2bccosA 对的边长,则 2 2 2= a +c -2accosB , ?a 2= a2+b2-2abcosC , ?b ? c 2= .
?

?

余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与 对边之间的关系,它的另一种表达形式是

?

须知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定 理是余弦定理的特例.∠A为钝角? a2>b2+c2 a2=b2+c2 ,∠A为直角? ,∠A为锐角? a2<b2+c2 .

2.余弦定理的每一个等式中都包含四个不 同的量,它们分别是三角形的三边和一个 角,知道其中的三个量,代入等式,便可 求出第四个量来. ? 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角 形的问题: 各角 第三边和其他两个角 ? (1)已知三边,求 ; ? (2)已知两边和它们的夹角,求 .
?

1.在△ABC中,AB=5,BC=6,AC=8, 则△ABC的形状是 ?( ) ? A.锐角三角形 B.直角三角 形 ? C.钝角三角形 D.非钝角三角形 ? 解 析 : 因 为 AB2 + BC2 - AC2 = 52 + 62 - 82<0, ? ∴AC边所对角B为钝角,故选C.
?

2.在△ABC 中,AB=3,BC= 13,AC=4.则 AC 边上的高 为( ) 3 A.2 2 3 C. 2 3 B.2 3 D.3 3

9+16-13 1 3 解析:由余弦定理 cosA= =2,sinA= 2 ,AC 边 2×3×4 3 3 上的高=AB· sinA=3× = 3. 2 2
答案:B

?

3.在△ABC中,已知b=1,c=3,A= 60°,则a=________.

4.在△ABC中,若(a+b)2=c2+ab,则角 C等于________. ? 解析:∵(a+b)2=c2+ab,∴c2=a2+b2+ ab. ? 又c2=a2+b2-2abcosC.∴a2+b2+ab=a2 +b2-2abcosC. ? ∴- 2cosC= 1, ∴cosC= - , ∴ C=
?

5.在△ABC 中: (1)a=1,b=1,C=120° ,求 c; (2)a=3,b=4,c= 37,求最大角; (3)a∶b∶c=1∶ 3∶2,求 A、B、C.

解:(1)由余弦定理得 1 c =a +b -2abcosC=1 +1 -2×1×1×(- )=3,∴c= 2
2 2 2 2 2

3; (2)显然 C 角最大, a2+b2-c2 32+42-37 1 ∴cosC= = =- ,∴C=120° ; 2ab 2 2×3×4

(3)由于 a∶b∶c=1∶ 3∶2,可设 a=x,b= 3x,c= 2x. b2+c2-a2 3x2+4x2-x2 3 由余弦定理得 cosA= = = 2 , 2bc 2· 3x· 2x π ∴A=6. 1 π π 同理 cosB=2,cosC=0,∴B=3,C=2. π π π ∴A= ,B= ,C= . 6 3 2

[例1] 在△ABC中,已知a=2,b=2 , C=15°,求角A、B和边c的值. ? [分析] 由条件知C为边a、b的夹角,故应 由余弦定理来求c的值.
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6+ 2 [解] cos15° =cos(45° -30° )= 4 . 由余弦定理知,c2=a2+b2-2abcosC=4+8-2 2×( 6+ 2)=8-4 3. ∴c= 8-4 3= ? 6- 2?2= 6- 2. a c 由正弦定理得sinA=sinC, 6- 2 2× 4 asinC asin15° 1 sinA= = = = , c c 2 6- 2 1 ∵b>a,sinA=2,∴A=30° .∴B=180° -A-C=135° .

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[点评] 本题求出c后,用正弦定理求角A, 需要讨论确定A的值,而求出c后,再用余 弦定理求角A,可以避免讨论.

3 迁移变式 1 在△ABC 中,已知 sinC= ,sinC+cosC<0, 5 且 a=2,b=5.求边长 c. 解:∵sinC>0 且 sinC+cosC<0, ∴cosC<0, 4 则 cosC=- 1-sin C=-5.
2

由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC, 4 得 c =4+25-2×2×5×(- )=45, 5
2

∴c=3 5.

[ 例 2] 在 △ ABC 中 , 已 知 (b + c)∶(c + a)∶(a+b)=4∶5∶6,求△ABC的最大内 角的正弦值. ? [分析] 本题主要考查了余弦定理及大边对 大角等平面几何性质,要求出最大内角的 正弦值,须先确定哪条边最大(同时表达出 边a、b、c的长),然后应用余弦定理先求 出余弦值,再求正弦值.
?

[解] 设 b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k,其中 k>0.易解得 7 5 3 a=2k,b=2k,c=2k, ∴边 a 是△ABC 中的最大边,则角 A 是最大内角. b2+c2-a2 1 ∵cosA= 2bc =-2, 3 ∴sinA= . 2 3 ∴△ABC 的最大内角的正弦值是 2 .
[点评] 本题中比例系数k的引入是解题的关键.

?

迁移变式2 在△ABC中,已知a=7,b=3, c=5,求最大角和sinC.
解:∵a>c>b, ∴A 为最大角, 由余弦定理的推论得 b2+c2-a2 32+52-72 1 cosA= 2bc = =-2. 2×3×5 又∵0° <A<180° , ∴A=120° , 3 ∴sinA=sin120° 2 , =

a c 由正弦定理 = 得 sinA sinC 3 5× 2 5 3 csinA sinC= a = 7 = 14 , 5 3 ∴最大角 A 为 120° ,sinC= . 14

[例3] 在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B= 2bccosBcosC,试判断三角形的形状. ? [分析] 由题目可获取以下主要信息: ? ① 边 角 之 间 的 关 系 : b2sin2C + c2sin2B = 2bccosBcosC; ? ②确定三角形的形状. ? 解答本题先由正弦定理将边转化为角,然 后由三角恒等式进行化简,得出结论;也 可先由余弦定理及同角三角函数关系转化 成边之间的关系,然后由边的关系确定三
?

则 条 件 转 化 为 4R2·sin2C·sin2B + 4R2·sin2C·sin2B ? =8R2·sinB·sinC·cosB·cosC, ? 又sinB·sinC≠0, ? ∴sinB·sinC=cosB·cosC,
?

即cos(B+C)=0. ? 又0°<B+C<180°, ? ∴B+C=90°, ? ∴A=90°,故△ABC为直角三角形.
?

方法 2:将已知等式变形为 b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B) =2bccosBcosC, a2+b2-c2 2 2 a2+c2-b2 2 即有 b2+c2-b2· 2ab ) -c · 2ac ) ( ( a2+c2-b2 a2+b2-c2 =2bc· · , 2ac 2ab [?a2+b2-c2?+?a2+c2-b2?]2 即 b2+c2= 4a2 4a4 2 = 2=a ,即 b2+c2=a2,∴△ABC 为直角三角形. 4a

?

[点评] 判断三角形的形状应围绕三角形的 边角关系进行思考,可用正、余弦定理将 已知条件转化为边边关系,通过因式分解、 配方等方式得出边的相应关系,从而判断 三角形的形状,也可利用正、余弦定理将 已知条件转化为角与角之间的关系,通过 三角变换,得出三角形各内角之间的关系, 从而判断三角形形状.

迁移变式3 在△ABC中,(a+b+c)(b+c -a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,试确定 △ABC的形状. ? 解:由于(a+b+c)(b+c-a)=3bc, ? 所以a2=b2+c2-bc, ? 又由余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA,
?

又∵sinA=sin(B+C) ? =sinBcosC+cosBsinC且 ? sinA=2sinBcosC, ? ∴sinBcosC=cosBsinC, ? 即sin(B-C)=0,∴B=C, ? 又B+C=120°,∴B=C=60°. ? 故△ABC为等边三角形.
?

?

[例4] 在△ABC中,C=2A,a+c=10, cosA= ,求b.
[分析] 利用正弦定理 → 求出a、c → 利用余弦定理求b

→ 检验得结果

c sinC sin2A [解] 由正弦定理得a=sinA= sinA =2cosA, c 3 ∴ = . a 2 又a+c=10, ∴a=4,c=6. 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA, b2+20 3 得 12b =4, ∴b=4或b=5.

当b=4时,∵a=4,∴A=B. 又C=2A,且A+B+C=π, π 3 ∴A=4,与已知cosA=4矛盾,不合题意,舍去. 当b=5时,满足题意.

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[点评]

(1)本例首先由正弦定理结合倍角公

式求出a、c,再利用余弦定理求出b的值, 通过正、余弦定理的完美结合求得结果.
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(2)正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形

的边角关系,要解三角形,必须已知三角
形的一边的长,对于两个定理,根据实际 情况可以选择地运用,也可以综合地运用,

?

迁移变式4 在△ABC中,已知A>B>C,且 A=2C,b=4,a+c=8,求a、c的长.
a c 解:由正弦定理,得 = . sinA sinC a c ∵A=2C,∴ = ,∴a=2ccosC,又a+c=8, sin2C sinC

8-c ∴cosC= 2c .① 又由余弦定理及a+c=8,得

a2+b2-c2 a2+42-c2 ?8-c?2+42-c2 cosC= = = = 2ab 8a 8?8-c? 10-2c .② 8-c 8-c 10-2c 由①②知 = ,整理得5c2-36c+64=0. 2c 8-c 16 24 24 16 ∴c= 或c=4(舍),∴a=8-c= .故a= ,c= . 5 5 5 5

1.余弦定理的正确理解 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这 两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即 a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2- 2abcosC. b2+c2-a2 c2+a2-b2 余弦定理的推论:cosA= ,cosB= , 2bc 2ac a2+b2-c2 cosC= 2ab .

?

利用推论可以由三角形的三边求出三角形 的三个内角.

?

请注意:(1)余弦定理揭示了任意三角形边 角之间的客观规律,是解三角形的重要工

具.
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(2)余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理 是余弦定理的特例.

2.余弦定理的应用 ? 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形 的问题: ? (1)已知三边,求三个角; ? (2)已知两边和它们的夹角,可以求第三边, 进而求出其他角.
?


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