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高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式一课堂导学案

高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式一课堂导学案

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式(一)
课堂导学 三点剖析 1.二倍角公式的应用 【例 1】 (1)求 cos

? 5? cos 的值; 12 12

(2)求 cos20°·cos40°·cos80°; (3)求

1 3 的值. ? sin 10? cos10?

? 5? ? ? cos =cos sin 12 12 12 12 1 ? ? 1 ? 1 = ·2cos sin = sin = . 2 12 12 2 6 4 2 sin 20? ? cos 20? ? cos 40? ? cos 80? (2)原式= 2sin20 ? 2 sin 40? ? cos 40? ? cos 80? = 4 sin 20? 2 sin 80? ? cos 80? sin 160 ? 1 ? ? . = 8 sin 20? 8 sin 20? 8
解: (1)cos (3)

1 3 cos10? ? 3 sin 10? ? ? sin 10? cos10? sin 10? cos10?

1 3 2( cos10? ? sin 10?) 4 ? sin(30? ? 10?) 2 2 = ? ? 4. 1 sin 20? ? 2 sin 10? ? cos10? 2
温馨提示 对于这类给角求值的问题,应首先观察题目中各角之间的关系.(1)根据 角互余,将 cos

5? ? 换成 sin ,再配以系数 2 即可逆用二倍角公式求值; (2)由于各角之 12 12

? 5? 、 两 12 12

间具有倍数关系,40°=2×20°,80°=2×40°,故分子分母同乘以 sin20°,便可逆用二 倍角公式求值; (3)由结构特点看应先通分,分子正好逆用两角差的正弦公式,分母逆用二 倍角公式,约分后即可求值. 2.公式的变形应用 【例 2】 (1)化简: 2 1 ? sin 8 ? 2 ? 2 cos8 ;

(2)设 α ∈(

3 1 1 1 1 ? ,2π ) ,化简: ? ? cos 2? . 2 2 2 2 2
2 2 2 2

思路分析: (1)1+sin8=sin 4+2sin4cos4+cos 4=(sin4+cos4) ,2(1+cos8)=4cos 4.

1

(2)连续运用公式:1+cos2α =2cos α . 解: (1) 原式= 2 1 ? 2 sin 4 cos4 ? 4 cos2 4 =2|sin4+cos4|+2|cos4|.因为 4∈ (π , ? ) , 所以 sin4<0,cos4<0. 故原式=-2(sin4+cos4)-2cos4=-2sin4-4cos4=-2(sin4+2cos4). (2)因为 α ∈(

2

3 2

3? ? ,2π ) ,所以 cosα >0,cos <0. 2 2

故,原式=

1 1 1 1 ? ? ? ? cos2 ? ? ? cos? ? cos2 ?| cos |? ? cos . 2 2 2 2 2 2 2

温馨提示 (1)带有根号的化简问题,首先要去掉根号,想办法将根号内的式子化成完全平方式,即 三角函数中常用的解题技巧:“变次”,其中用到了二倍角正弦和余弦的两个重要的变形: 1±sinα =(sin

? ? 2 2? ±cos ) ,1+cosα =2cos . 2 2 2
2 | cos

(2)脱掉根号时要注意符号问题,如 1 ? cos ? ? 断 cos

?
2

| ,利用 α 所在的象限,判

? 的正负,然后去掉绝对值符号. 2
? 5 ? -x)= ,0<x< ,求 13 4 4
cos2 x cos( ? x) 4

3.正确理解二倍角公式中“二倍”的含义,灵活运用公式 【例 3】 设 sin(

?

的值.

思路分析:本题主要结合倍角公式考查给值求值问题.要抓住已知条件中角和被求式中角的 关系, ( [2(

? ±x) ]. 4

? ? ? ? +x)与( -x)互余,2x 与 -x 的 2 倍角互余,即 cos2x=sin( ±2x)=sin 4 4 4 2
? ? ? ,∴0< -x< . 4 4 4

解法 1:∵0<x<

∴cos(

? 5 2 12 2 ? -x)= 1 ? sin ( ? x) ? 1 ? ( ) ? . 4 4 13 13

? ? 5 +x)=sin( -x)= , 13 4 4 ? sin[2( ? x)] 4 ∴原式= ? sin( ? x) 4 ? ? 2 sin( ? x) cos( ? x) 4 4 = ? sin( ? x) 4
又 cos(

2

=2cos(

? 24 -x)= . 13 4
2 2

解法 2:∵cos2x=cos x-sin x =(cosx+sinx) (cosx-sinx)

? ? )· 2 cos(x+ ) 4 4 ? ? =2sin(x+ )cos(x+ ) , 4 4 ? ? 2 sin(x ? ) ? cos(x ? ) 4 4 ∴原式= ? cos(x ? ) 4 ? =2sin(x+ ) 4 ? =2cos( -x) 4 ? 12 由解法 1 可知 cos( -x)= , 13 4 12 24 ∴原式=2× = . 13 13
= 2 sin(x+ 温馨提示 (1)在给值求值问题中,应该首先找出已知中的角和所求式中角的联系,这是我们解决三 角函数问题的常规思路,概括为“先角后函数”. (2)对于二倍角应该有广义上的理解,4α 是 2α 的 2 倍,3α 是 是

? 3 α 的 2 倍, ±2x 2 2

? ±x 的 2 倍. 4

各个击破 类题演练 1 求下列各式的值:

? ? ? ? -sin ) (cos +sin ) ; 12 12 12 12 1 2? (2) -cos ; 2 8 2 4 2 (3) ? + cos 15°; 3 3
(1) (cos (4)tan67°30′-tan22°30′. 解: (1)原式=cos
2

? ? 3 2 ? -sin =cos = ; 12 12 6 2

(2)原式=-

1 2? (2cos -1) 2 8

3

=-

1 ? ·cos 2 4

=?

2 ; 4
2 2 3 2 (2cos 15°-1)= ·cos30°= ; 3 3 3

(3)原式=

(4)原式=tan67°30′-tan(90°-67°30′) =tan67°30′-

1 tan 67 ?30 '

=

tan2 67?30'?1 1 ? tan2 67?30' 1 1 ? ?2 ? ? ?2 ? ?2 ? 2. tan67?30' 2 tan67?30' tan(2 ? 67?30' ) tan135?

变式提升 1 化简:sin10°sin30°sin50°sin70°. 解:原式=

1 1 cos80°·cos40°·cos20°= . 2 16

类题演练 2 化简: (1) 1 ? sin 2? ; (0<α < (2) 1 ? sin ? ? 1 ? sin ?

? ) 4

θ ∈(0,π ) ;

2 2 解: (1)原式= sin ? ? cos ? ? 2 sin ? cos ? ?

(sin ? ? cos ? ) 2 =|sinα -cosα |.

∵0<α <

? , 4

∴sinα <cosα ,sinα -cosα <0. ∴原式=-(sinα -cosα )=cosα -sinα . (2)原式= sin
2

?
2

? cos2

?

? 2 sin cos ? sin 2 ? cos2 ? 2 sin cos 2 2 2 2 2 2 2

?

?

?

?

?

?

= (sin =|sin

?

? cos ) 2 ? (sin ? cos ) 2 2 2 2 2

?

?

?

? ? ? ? +cos |-|sin -cos | 2 2 2 2

∵0<θ <π ,

? ? < . 2 2 ? ? ? ? ①当 0< ≤ 时,cos ≥sin >0,此时 2 4 2 2 ? ? ? ? ? 原式=(sin +cos )-(cos -sin )=2sin , 2 2 2 2 2
∴0<
4

? ? ? ? ? < < 时,sin >cos >0,此时 2 2 4 2 2 ? ? ? ? ? 原式=(sin +cos )-(sin -cos )=2cos . 2 2 2 2 2
②当 变式提升 2 化简:

1 ? sin 4? ? cos 4? . 1 ? sin 4? ? cos 4?

解法 1:原式=

1 ? 2 sin 2? cos 2? ? 2 cos2 2? ? 1 1 ? 2 sin 2? cos 2? ? 1 ? 2 sin 2 2?

=

2 cos 2? (sin 2? ? cos 2? ) =cot2α . 2 sin 2? (cos2? ? sin ?? ) (1 ? cos ?? ) ? sin 4? (1 ? cos 4? ) ? sin 4?

解法 2:原式=

=

2 cos2 2? ? 2 sin 2? cos 2? 2 sin 2 2? ? 2 sin 2? cos 2? 2 cos 2? (cos2? ? sin 2? ) =cot2α . 2 sin 2? (sin 2? ? cos 2? )

=

类题演练 3

? 1 2? -α )= ,则 cos( +2α )等于( 3 3 6 7 1 1 A. ? B. ? C. 3 3 9 2? ? 2 解析:cos( +2α )=2cos ( +α )-1. 3 3 ? ? ? ∵( -α )+( +α )= , 6 3 2 ? ? 1 ∴cos( +α )=sin( -α )= . 3 3 6 2? 1 2 7 ∴cos( +2α )=2×( ) -1= ? . 3 3 9
(2005 江苏,10)若 sin( 答案:A 变式提升 3 若 cos(

) D.

7 9

? 3 17? 7? sin 2 x ? 2 sin 2 x +x)= , <x< .求 的值. 5 4 4 12 1 ? tan x

? 3 17? 7? +x)= , <x< , 5 4 4 12 5? ? ? 4 ∴ < +x<2π ,则 sin( +x)=- . 3 5 4 4
解法 1:∵cos(
5

? ? +x)- ] 4 4 ? ? ? ? =cos( +x)cos +sin( +x)sin 4 4 4 4
从而 cosx=cos[ ( =

3 4 2 2 2 × +(- )× =? , 5 5 2 2 10
2

∴sinx= ? 1 ? cos x ? ? tanx=7. 故原式=

7 2 , 10

2 sin x cos x ? 2 sin 2 x 1 ? tan x
7 2 2 7 2 2 ) ? (? ) ? 2 ? (? ) 10 10 10 1? 7

2 ? (?
= =?

28 . 75

解法 2:原式=

2 sin x cos x ? 2 sin 2 x 1 ? tan x

=

? +x). 4 17 7? 5? ? ∵ ? <x< ,∴ < +x<2π . 12 4 3 4 ? 3 ? 4 又 cos( +x)= ,∴sin( +x)=- , 5 5 4 4 ? 4 即 tan( +x)=- . 3 4 ? ? 则 sin2x=sin[2( +x)- ] 4 2 ? =-cos2( +x) 4 ? 7 2 =-[2cos ( +x)-1]= . 25 4 7 4 28 故原式= ×(- )=. 25 3 75
=sin2x·tan(

2 sin x cos x(1 ? tan x) 1 ? tan x

6


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