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广东省梅州市2014届高三总复习质检数学文试卷Word版含答案

广东省梅州市2014届高三总复习质检数学文试卷Word版含答案

梅州市高三总复习质检试卷(2014.3)

数学(文科)

一、选择题(40 分)

1、已知全集 U=Z,A={0,1,2,3},B={x|x2=2x},则 A∩ CU B 为

A、{1,3}

B、{0,2}

C、{0,1,3}

D、{2}

2、下列函数中既是奇函数,双在区间(-1,1)上是增函数的为

A、y=|x+1|

B、y=sinx

C、y= 2x ? 2?x D、y=lnx

3、如果复数 2 ? bi (b ? R) 的实部和虚部都互为相反数,那么 b 等于 1? 2i

A、 2

B、 2 3

C、- 2

D、2

3

4、已知? 为锐角,且 tan(? ?? ) +3=0,则 sin? 的值是

A、 1 3

B、 3 10 10

C、 3 7 7

D、 3 5 5

5、阅读右面的程序框图,则输出的 S=

A、14

B、20

C、30

D、55

6、已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是

A、 1 2

B、 1 6

C、 1 12

D、 1 18
7、设 m,n 是平面? 内两条不同直线,l 是平面? 外的一条直线,

则“l⊥m,l⊥n”是“l⊥? ”的

A、充分不必要条件

B、必要不充分要条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件

?x ? y ?1 8、已知变量 x,y 满足约束条件 ??2x ? y ? 5 ,则 z=3x+y 的最大值为
??x ? 1

A、4

B、5

C、6

D、7

9、设曲线 C 的方程为(x-2)2+(y+1)2=9,直线 l 的方程 x-3y+2=0,则曲线上的

点到直线 l 的距离为 7 10 的点的个数为 10

A、1

B、2

C、3

D、4

10、若直角坐标平面内的两点 P、Q 满足条件:①P、Q 都在函数 y=f(x)的图象上;②P、Q

关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一个“友好点对”(点对[P,Q]与[Q,

P]看作同一个“友好点对”).已知函数 f(x)=

,则此函数的“友好点对”

有 A、0 对

B、1 对

C、2 对

D、3 对

二、填空题(30 分) (一)必做题(11-13 题)

11、已知向量 a ? (?1,1),b ? (3, m), 若a (a+b).则m =___

12、已知函数 f(x)=lnx-ax 的图象在 x=1 处的切线与直线 2x+y-1=0 平行,则实数 a 的值为___

13、已知双曲线 C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆 x2 ? y2 ? 1 的长轴的端点、焦点,则双曲 25 16

线 C 的方程是____

(二)选题题(14-15 题,只能选做一题)

14(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系

xoy

中,直线

l

的参数方程是

?x

? ?

y

? ?

t?3
(参
3?t

数 t?R),圆

C

的参数方程是

?x

? ?

y

? ?

2 cos? 2 sin ?

?

2

(参数θ

? R),则圆

C

的圆心到直线

l

的距

离为____________.

15.(几何证明选讲选做)如图,在圆的内接四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,∠ABD=30°, ∠BDC=45°,AD=1,则 BC=____

三、解答题(共 80 分)
16、(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? Asin(?x ? ?)( A ? 0,? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图象 2
如图所示。 (1)求函数 f(x)的解析式,并写出 f(x)的单调减区间;
(2)△ABC 的内角分别是 A,B,C,若 f(A)=1,cosB= 4 ,求 sinC 的值。 5
17、(本小题满分 12 分)已知某中学高三文科班学生共有 800 人参加了数学与地理的水平测 试,现学校决定利用随机数表法从中抽取 100 人进行成绩拉样统计,先将 800 人按 001,002,…,800 进行编号。
(1)如果从第 8 行第 7 列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的 3 个人的编号; (下面摘取了第 7 行至第 9 行)
(2)抽取取 100 人的数学与地理的水平测试成绩如下表:
成绩分为优秀、良好、及格三个等级,横向、纵向分别表示地理成绩与数学成 绩,例如:表中数学成绩为良好的共有 20+18+4=42 人,若在该样本中,数学成 绩优秀率为 30%,求 a,b 的值。
(3)在地理成绩为及格的学生中,已知 a ? 10, b ? 8 ,求数学成绩为优秀的人
数比及格的人数少的概率。

18、(本小题满分 14 分)如图,在直角梯形 ABEF 中,BE∥AF,∠FAB=90°,CD∥AB,将 DCEF 沿 CD 折起,使∠FDA=60°,得到一个空间几何体。 (1)求证:BE∥平面 ADF; (2)求证:AF⊥平面 ABCD; (3)求三棱锥 E-BCD 的体积。
19、(本小题满分 14 分)已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点 F(-2,),且长轴长与短轴
长的比是 2: 3 。
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上,点 P 是椭圆上任意一点,若当| MP | 最小时,点 P
恰好落在椭圆的右顶点上,求实数 m 的取值范围。

20、(本小题满分 14 分)设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn,已知 an?1 ? 2Sn ? 2(n ? N*) 。 (1)求数列{ an }的通项公式; (2)在 an 与 an?1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成一个公差为 d 的等差数列。 (I)在数列{ dn }中是否存在三项 dm , dk , d p (其中 m,k,p 是等差数列)成等比数列?若
存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由; (II)求证:
21、(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=-x3+ax2-4( a ? R ), f '( x) 是 f(x)的导
函数。
(1)当 a=2 时,对于任意的 m?[-1,1],n?[-1,1],求 f(m)+ f '(m) 的最小值; (2)若存在 x0 ? (0, ??) ,使 f (x0 ) >0,求 a 的取值范围。

梅州市 2014 届高三总复习质检试卷(2014,3)
数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和 能力比照评分标准给以相应的分数。
2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得 超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不 再给分。
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 A

B

C

B

C

A

B

D

B

C

10.解:根据题意:当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (?x) ? ?(?x)2 ? 4(?x) ? ?x2 ? 4x ,

则函数 y ? ?x 2 ? 4x (x ? 0) 关于原点对称的函数是 y ? x 2 ? 4x(x ? 0) .由题意知,

作出函数 y ? x 2 ? 4x(x ? 0) 的图象,看它与函数 y ? log2 x (x ? 0) 交点个数即可得 到友好点对的个数.如 图, 观察图象可得它们的交点个数是 2. 即 f (x) 的“友好
点对”有 2 个.故答案选 C.

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.

11. ? 3

12. 3

13. x 2 ? y 2 ? 1 9 16

14.2 2

15. 2

16.(本小题满分 12 分) 解:(1)由图象最高点得 A=1,

……………

1分

由周期 1 T ? 2? ? ? ? 1 ?,?T ? ? ? 2? , ?? ? 2 .

2 3 62

?

………2 分

当 x ? ? 时, f (x) ? 1 ,可得 sin(2 ? ? ? ?) ? 1,

6

6

因为| ? |? ? ,所以? ? ? .

2

6

? f (x) ? sin(2x ? ? ) . 6

……………4 分

由图象可得 f (x) 的单调减区间为[k? ? ? , k? ? 2? ], k ? Z .

6

3

………6 分

(2)由(1)可知, sin(2A ? ? ) ? 1 , 6

? 0 ? A ? ? , ? ? ? 2A ? ? ? 13? ,

6

66

?2A? ? ? ? , A ? ? . 62 6

………8 分

?0 ? B ? ? ,?sin B ? 1? cos2 B ? 3 . 5
?sin C ? sin(? ? A ? B) ? sin( A ? B)

…………9 分 ……………10 分

.
? sin Acos B ? cos Asin B

? 1?4?

3?3 ? 4?3

3
.

2 5 2 5 10

………12 分

17.(本小题满分 12 分)

解:(1)依题意,最先检测的 3 个人的编号依次为 785,667,199;
(2)由 7 ? 9 ? a ? 0.3 ,得 a ? 14 , 100
∵ 7 ? 9 ? a ? 20 ? 18 ? 4 ? 5 ? 6 ? b ? 100 , ∴ b ? 17 ;
(3)由题意,知 a ? b ? 31 ,且 a ? 10,b ? 8 ,

…………3 分 …………5 分
…………7 分

∴满足条件的 (a, b) 有:(10,21),(11,20),(12,19),(13,18),(14,17),

(15,16),(16,15),

(17,14),(18,13),(19,12),(20,11),(21,10),(22,9),(23,8)共

14 组,

且每组出现的可能性相同.

….…9 分

其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有:

(10,21),(11,20),(12,19),(13,18),(14,17),(15,16)共 6 组. …………

11 分

∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为 6 ? 3 . 14 7

………12 分

18.(本小题满分 14 分)
解:(1)由已知条件可知 BC // AD, CE // DF ,折叠之后平行关系不变,又因为 BC ? 平面 ADF , AD ? 平面 ADF ,所以 BC //平面 ADF ;

同理 CE //平面 ADF .

…………2 分

又? BC ? CE ? C, BC,CE ? 平面 BCE ,

?平面 BCE //平面 ADF . 又 BE ? 平面 BCE , ∴ BE //平面 ADF . (2)由于 ?FDA ? 60?, FD ? 2, AD ? 1,

………4 分

? AF 2 ? FD2 ? AD2 ? 2 ? FD ? AD ? cos ?FDA ? 4 ? 1 ? 2 ? 1 ?1? 1 ? 3



22



AF ? 3. ? AF 2 ? AD2 ? FD2 ,? AF ? AD .

……6 分

? DC ? FD, DC ? AD, AD ? FD ? D, AD, DF ? 平面 ADF ,

? AF ? 平面 ABCD .

……8 分

(3)法一:? DC ? EC, DC ? BC, EC, BC ? 平面 EBC , EC ? BC ? C.

? DC ? 平面EBC .

…………………………10 分

又? DF // EC, AD // BC, ?FDA ? 60? ,? ?ECB ? 60? .

? EC

? 1, BC

? 1, ? S?ECB

?

1 ?1?1? 2

3? 2

3. 4

…………………12 分

1

1

33

?VE ? BCD

? VD?EBC

?

3 ? DC ? S?ECB

?

?1? 3

4

?. 12

…………14 分

法二:取 BC 中点 G ,连接 EG .

由(2)易知 平面ADF ⊥平面 ABCD ,又平面 BCE //平面 ADF ,

? 平面BCE ⊥平面 ABCD .

…………………………………………10 分

又? DF // EC, AD // BC, ?FDA ? 60? ,? ?ECB ? 60? .

? EC ? 1, BC ? 1, ? ?BCE是正三角形 , 故EG ? BC,且EG ?

3 2,

……12 分

平面BCE ? 平面ABCD ? BC, EG ? 平面BCE,? EG ? 平面ABCD .

VE ? BCD

?

1 3

?

EG

?

S

?BCD

?

1? 3

3 ? 1 ? 3 .……………………………………14 分 2 2 12

19.(本题满分 14 分)

解:(1)设椭圆 C 的方程为 x 2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) .………………1 分

?a 2 ? b2 ? c 2

由题意有:

?? a

? ?

b

?

2 3



??c ? 2

………………3 分

解得 a 2 ? 16, b2 ? 12 .

………………5 分

故椭圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1. 16 12

………………6 分

( 2 ) 设 P(x, y) 为 椭 圆 上 的 动 点 , 由 于 椭 圆 方 程 为 x2 ? y 2 ? 1 , 故 16 12
? 4 ? x ? 4 .……………7 分 因为 MP ? (x ? m, y) ,所以

| MP |2 ? (x ? m)2 ? y 2 ? (x ? m)2 ? 12 ? (1 ? x 2 ) ? 1 x 2 ? 2mx ? m2 ? 12 ? 1 (x ? 4m)2 ? 3m2 ? 12.

16 4

4

………10 分
因为当| MP | 最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点,即当 x ? 4m 时,

| MP |2 取得最小值.而 x ?[?4,4] , 故有 4m ? 4 ,解得 m ? 1. 又点 M 在椭圆的长轴上,即 ? 4 ? m ? 4 . 故实数 m 的取值范围是 m ?[1,4].
20.(本小题满分 14 分)
解:(1)由 an?1 ? 2Sn ? 2(n ? N *) ,
可得: an ? 2Sn?1 ? 2(n ? N *,n ? 2) ,
两式相减: an?1 ? 3an (n ? N *,n ? 2) .

………12 分 …………13 分 ……………14 分
……………2 分

又 a2 ? 2a1 ? 2 ,
因为数列?an? 是等比数列,所以 a2 ? 2a1 ? 2 ? 3a1 ,故 a1 ? 2 .

所以 an ? 2 ? 3n?1 . (2)由(1)可知 an ? 2 ? 3n?1 , an?1 ? 2 ? 3n

………………4 分

因为:

an?1

?

an

?

(n

?

2

?1)dn

,得

dn

?

4 ? 3n?1 n ?1

.

……………6 分

(Ⅰ)假设在数列{dn} 中存在三项 dm , dk , d p (其中 m, k, p 成等差数列)成等比数列,

则: ?dk

?2

?

dmd p

,即:

? ?

?

4 ? 3k?1 k ?1

2
? ? ?

?

4 ? 3m?1 m ?1

?

4 ? 3p?1 p ?1

,

16 ? 32k?2

16 ? 3m? p?2

?k ?1?2 ? ?m ?1? ?? p ?1?

(*) ………8 分

因为 m, k, p 成等差数列,所以 m ? p ? 2k ,

(*)可以化简为 k 2 ? mp ,故 k ? m ? p ,这与题设矛盾.

所以在数列{dn}

中不存在三项

dm

,

dk

,

d

(其中
p

m,

k

,

p

成等差数列)成等比数列.…

10 分

(Ⅱ)令 Tn

?

1 d1

?

1 d2

?

1 d3

? ...... ?

1 dn



Tn

?

2 4 ? 30

?

3 4 ? 31

?

4 4 ? 32

? ...... ?

n ?1 4 ? 3n?1

,

1 3 Tn

?

2 4 ?31

?

3 4 ?32

?

4 4 ? 33

? ... ?

n ?1 4 ?3n ,

两式相减:

…………11 分

2 3 Tn

?

2 4 ? 30

?

1 4 ? 31

?

1 4 ? 32

? ...... ?

1 4 ? 3n?1

?

n ?1 4 ?3n

?

1 2

?

1 4

?

1 3

???1

?

1 3n?1

1? 1

? ??

?

n ?1 4 ? 3n

3

?

5 8

?

2n ? 5 8 ? 3n

Tn

?

15 16

?

3(2n ? 5) 16 ? 3n

?

15 . . 16

……………13 分 …………14 分

21.(本小题满分 14 分)

解:(1)由题意知 f (x) ? ?x3 ? 2x 2 ? 4, f '(x) ? ?3x 2 ? 4x.

令 f '(x) ? 0,得x ? 0或 4 . 3

…………2 分

当 x 在[-1,1]上变化时, f '(x), f (x) 随 x 的变化情况如下表:

x

-1

(-1,0)

0

(0,1)

1

f '(x)

-7

-

0

+

1

f (x)

-1



-4



-3

? 对于m ?[?1,1], f (m) 的最小值为 f (0) ? ?4,

…………4 分

? f '(x) ? ?3x 2 ? 4x 的对称轴为 x ? 2 且抛物线开口向下, 3,
? 对于n ?[?1,1], f '(n) 的最小值为 f '(?1) ? ?7. ? f (m) ? f '(n) 的最小值为-11.

…………5 分 …………6 分

(2)? f '(x) ? ?3x(x ? 2a ) 3.
①若 a ? 0,当x ? 0时, f '(x) ? 0 ,? f (x)在?0,???上单调递减,
又 f (0) ? ?4,则当x ? 0时, f (x) ? ?4.

?当a ? 0时,不存在x0 ? 0,使f (x0 ) ? 0.

②若 a ? 0,则当0 ? x ? 2a 时, f '(x) ? 0, 当 x ? 2a 时, f '(x) ? 0.

3

3

从而

f

(x)在?? 0, ?

2? 3 ??

上单调递增,在

? ??

2a 3

,?? ?? ?

上单调递减,

…………9 分

?当x ? (0,??)时,f (x)max

?

f ( 2a ) ? ? 8a3

3

27

?

4a 3 9

?4
.

…………12 分

根据题意, 4a3 ? 4 ? 0,即a3 ? 27,解得a ? 3. 27

综上, a 的取值范围是 (3,??).

…………14 分

(或由 x0

?

0,

f

(x0 )

?

0, 得a

?

4 x0 2

?

x0 ,用两种方法可解)


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