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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第9章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系

【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第9章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系


第九章

第三节

一、选择题 1.(2015· 河南省实验中学期中)若 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面, 则下列为真命题的是( )

A.若 m?β,α⊥β,则 m⊥α B.若 α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则 α∥β C.若 m⊥β,m∥α,则 α⊥β D.若 α⊥γ,α⊥β,则 β⊥γ [答案] C [解析] 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,①取 ADD1A1 为 α,ABCD 为 β,则 α⊥β,取 BC 为 m,则 m?β,知 A 错;②取 ABCD 为 α,取 ADD1A1 为 γ,BCC1B1 为 β,则 α⊥γ,α⊥β,但 β∥γ,知 D 错;取三棱柱的三个侧面分别为 α,β,γ,满足 B 的条件,但 α 与 β 相交,知 B 错; ∵m∥α,过 m 作平面 δ∩α=a,则 m∥a,∵m∥β,∴a⊥β,由面面垂直的判定定理知 α⊥β,故 C 正 确. 2.(2015· 江西赣州博雅文化学校月考)设 α 为平面,a、b 为两条不同的直线,则下列叙述 正确的是( )

A.若 a∥α,b∥α,则 a∥b B.若 a⊥α,a∥b,则 b⊥α C.若 a⊥α,a⊥b,则 b∥α D.若 a∥α,a⊥b,则 b⊥α [答案] B [解析] 如图(1)β∥α,知 A 错;如图(2)知 C 错;如图(3),a∥a′,a′?α,b⊥a′,知 D 错;由线面垂直的性质定理知 B 正确.

3.(文)已知空间中有三条线段 AB、BC 和 CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线 AB 与 CD 的位置关系是( )
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A.AB∥CD B.AB 与 CD 异面 C.AB 与 CD 相交 D.AB∥CD 或 AB 与 CD 异面或 AB 与 CD 相交 [答案] D [解析] 若三条线段共面,如果 AB、BC、CD 构成等腰三角形,则直线 AB 与 CD 相交, 否则直线 AB 与 CD 平行;若不共面,则直线 AB 与 CD 是异面直线,故选 D. (理)a、b、c 是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是( A.若直线 a、b 异面,b、c 异面,则 a、c 异面 B.若直线 a、b 相交,b、c 相交,则 a、c 相交 C.若 a∥b,则 a、b 与 c 所成的角相等 D.若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c [答案] C [解析] 如图(1)知 A 错;如图(2)知 B 错;如图(3)知 D 错.在直线 c 上任取一点 P,过 P 作直线 m∥a,则 m∥b,因此 a,b 与 c 所成的角都等于 m 与 c 所成的角,故选 C. )

4.(2014· 汉沽一中检测)已知平面 α 和不重合的两条直线 m、n,下列选项正确的是( A.如果 m?α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n∥α B.如果 m?α,n 与 α 相交,那么 m、n 是异面直线 C.如果 m?α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n D.如果 m⊥α,n⊥m,那么 n∥α [答案] C

)

[解析] 如图(1)可知 A 错;如图(2)可知 B 错;如图(3),m⊥α,n 是 α 内的任意直线,都 有 n⊥m,故 D 错. ∵n∥α,∴n 与 α 无公共点,∵m?α,∴n 与 m 无公共点,又 m、n 共面,∴m∥n,故选 C.

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5.(2013· 北京)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为对角线 BD1 的三等分点,P 到 各顶点的距离的不同取值有( )

A.3 个 C .5 个 [答案] B

B.4 个 D.6 个

[解析] P 到各顶点距离的取值有 4 个:其中 P 到点 A,C,B1 的距离相等,P 到 A1,C1, D 的距离相等,另两个为 P 到点 B 和点 D1 的距离. 6.(文)(2014· 山西康杰中学期中)下列四个命题中错误 的是( .. A.若直线 a,b 互相平行,则直线 a,b 确定一个平面 B.若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线 C.若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线 D.两条异面直线不可能垂直于同一个平面 [答案] C [解析] 过两条平行直线,有且只有一个平面,A 正确;如果四点中存在三点共线,则四 点共面,B 正确;两条直线没有公共点,这两条直线可能平行,也可能异面,C 错误;垂直于 同一个平面的两条直线平行,这样的两条直线共面,D 正确. (理)(2014· 陕西咸阳范公中学摸底)下列命题中正确的个数是( ①若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α; ②若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都平行; ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行; ④若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点. A.0 C .2 [答案] B [解析] “若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α”是错误的,因为直线 l 可与平面 α 相交.“若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都平行”是错误的,因为 直线 l 可与平面 α 内的直线成异面直线.“如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么
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)

)

B.1 D.3

另一条也与这个平面平行”是错误的,因为另一条直线可能在平面内.“若直线 l 与平面 α 平 行,则 l 与平面 α 内的任一条直线都没有公共点”是正确的,因为直线 l 与平面 α 平行,则直 线 l 与平面 α 没有公共点.综上可知应选 B. 二、填空题 7.已知 a、b 为不垂直的异面直线,α 是一个平面,则 a、b 在 α 上的射影可能是:①两 条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.则在上面的 结论中,正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号) [答案] ①②④ [解析] 设与两异面直线都平行的平面为 α,β⊥α,则 a、b 在 β 内的射影为两条平行直线, ∴①正确;当 a⊥α 时,a、b 在 α 内的射影为一条直线及线外一点,∴④正确;适当调整角度可 以使 a 在 α 内的射影 a′与 b 垂直,从而 a′与 b 在 α 内的射影 b′垂直,无论什么情况下, 两直线的射影都不可能重合. 8.(2013· 杭州二模)已知正三棱柱 ABC-A′B′C′的正视图和侧视图如图所示.设△ ABC,△A′B′C′的中心分别是 O,O′,现将此三棱柱绕直线 OO′旋转,在旋转过程中 对应的俯视图的面积为 S,则 S 的最大值为________.

[答案] 8 [解析] 据正视图与侧视图知,该三棱柱的初始状态是水平放置的,直观图如图所示. 据所给的数据知,底面正三角形的高是 3,∴底面边长是 2.将三棱柱绕 OO′旋转时,俯 视图是矩形,该矩形的一组对边的长度保持不变(长度为 4),另一组对边长度不断变化,在底 投影面上的投影的长度的最大值为 2,∴S 的最大值为 4×2=8.

9.(文)如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 C1D1、C1C 的中点,有 以下四个结论:

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①直线 AM 与 CC1 是相交直线; ②直线 AM 与 BN 是平行直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线; ④直线 AM 与 DD1 是异面直线. 其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论序号都填上). [答案] ③④ [解析] ∵点 A 在平面 CDD1C1 外,点 M 在平面 CDD1C1 内,直线 CC1 在平面 CDD1C1 内, ∴AM 与 CC1 是异面直线,故①错;取 DD1 中点 E,则 BN∥AE,但 AE 与 AM 相交,故②错; ∵B1 与 BN 都在平面 BCC1B1 内,M 在平面 BCC1B1 外, ∴BN 与 MB1 是异面直线,故③真;同理④真,故填③④. (理)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成角的 余弦值为________. [答案] 2 3

[解析] 如图,连结 DE, ∵AD∥BC, ∴AE 与 BC 所成的角,即为 AE 与 AD 所成的角,即∠EAD. 设正方体棱长为 a, ∴DE= ∴AE= a 5 a2+? ?2= a, 2 2 AD2+DE2= 5 3 a2+ a2= a, 4 2

AD a 2 ∴cos∠EAD= = = . AE 3 3 a 2 [点评] 化异为共的思想. 在立体几何解题过程中,经常运用化异为共的思想解决问题. (1)与异面直线有关的命题真假判断.
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(2)异面直线的判定方法 异面直线的判定主要用定理法、反证法 1° 定理法:过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线(此 结论可作为定理使用). 2° 反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条件出发,经 过严密的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面. ①一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有下列结论: ①AB⊥EF; ②AB 与 CM 成 60° 的角; ③EF 与 MN 是异面直线; ④MN∥CD.其中正确的是( )

A.①② C.②③ [答案] D

B.③④ D.①③

[解析] 如图,画出折叠后的正方体后,由正方体的性质知①③正确,故选 D.

②如图是某个正方体的侧面展开图, l1, l2 是两条侧面对角线, 则在正方体中, l1 与 l2(

)

A.互相平行 B.异面且互相垂直 π C.异面且夹角为 3 π D.相交且夹角为 3
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[答案] D [解析] 将侧面展开图还原成正方体如图所示,则 B,C 两点重合.故 l1 与 l2 相交,连接 π AD,△ABD 为正三角形,所以 l1 与 l2 的夹角为 .故选 D. 3 (3)求异面直线所成角的方法 求异面直线所成的角主要用平移法,其一般步骤为 1° 平移:选取适当的点,平移异面直线的一条(或两条)成相交直线. 2° 证明:证明所作的角是异面直线所成的角. 3° 求解:找出含有此角的三角形,并解之. 4° 取舍:根据异面直线所成角的范围确定大小. (一)在已知平面内平移直线构造可解的三角形,或根据实际情况构造辅助平面,在辅助平 面内平移直线构造可解的三角形,是求异面直线所成角的途径之一; 这种方法常常是取两条异面直线中的一条和另一条上一点确定一个平面,在这个平面内 过这个点作这条直线的平行线,或在两条异面直线上各选一点连线,构造两个辅助面过渡. ③如图所示,在正方体 AC1 中,M、N 分别是 A1B1、BB1 的中点,求异面直线 AM 和 CN 所成角的余弦值.

[解析] 在平面 ABB1A1 内作 EN∥AM 交 AB 于 E, 则 EN 与 CN 所成的锐角(或直角)即为 AM 和 CN 所成的角.设正方体棱长为 a. 在△ CNE 中,可求得 CN = EN2+CN2-CE2 2 = . 2EN· CN 5 2 即异面直角 AM 与 CN 所成角的余弦值为 . 5 (二)利用平行平面平移直线构成可解的三角形,是求异面直线所成角的途径之二;
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5 5 17 a , NE = a , CE = a ,由余弦定理得, cos ∠ CNE = 2 4 4

这种方法常见于两条异面直线分别在两个互相平行的平面内,可利用面面平行的性质, 将一条直线平移到另一条所在的平面内. A1B1 ④如图所示,正方体 AC1 中,B1E1=D1F1= ,求 BE1 与 DF1 所成角的余弦值. 4

A1B1 [解析] ∵平面 ABB1A1∥平面 DCC1D1,∴在 A1B1 上取 H,使 A1H= ,即可得:AH∥DF1. 4 引 NH∥BE1,则锐角∠AHN 就是 DF1 与 BE1 所成的角. 设正方体棱长为 a,在△AHN 中,易求得: a 17 AN= ,AH=NH=BE1= a. 2 4 AH2+HN2-AN2 15 由余弦定理得,cos∠AHN= = . 2AH· HN 17 15 即 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值为 . 17 (三)整体平移几何体,构造可解的三角形,是求异面直线所成角的途径之三. 这种方法常常是将原有几何体上再拼接上同样的一个几何体(相当于将原几何体作了一个 平移)创造平移直线的条件. ⑤如下图长方体 AC1 中,AB=12,BC=3,AA1=4,N 在 A1B1 上,且 B1N=4.求 BD1 与 C1N 所成角的余弦值.

[解析] 如图所示,将长方体 AC1 平移到 BCFE-B1C1F1E1 的位置,则 C1E∥BD1,C1E 与 C1N 所成的锐角(或直角)就是 BD1 与 C1N 所成的角.

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在△NC1E 中,根据已知条件可求 B1N=4,C1N=5,C1E=13,EN= C1N2+C1E2-EN2 3 由余弦定理,得 cos∠NC1E= =- . 2C1N· C1E 5 3 ∴BD1 与 C1N 所成角的余弦值为 . 5 三、解答题

E1N2+EE2 1=4 17.

10.如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 D1C1、B1C1 的中点,AC∩BD =P,A1C1∩EF=Q,若 A1C 交平面 BDEF 于点 R,试确定点 R 的位置.

[解析] 如图,在正方体 AC1 中,∵Q∈A1C1,∴Q∈平面 A1C1CA.又 Q∈EF,∴Q∈平面 BDEF, 即 Q 是平面 A1C1CA 与平面 BDEF 的公共点.同理,P 也是平面 A1C1CA 与平面 BDEF 的公共 点.∴平面 A1C1CA∩平面 BDEF=PQ,又 A1C∩平面 BDEF=R,∴R∈A1C, ∴R∈平面 A1C1CA,又 R∈平面 BDEF,∴R∈PQ, ∴R 是 A1C 与 PQ 的交点.

一、选择题 11.(2014· 东北三省联考)直线 m,n 均不在平面 α,β 内,给出下列命题: ①若 m∥n,n∥α,则 m∥α;②若 m∥β,α∥β,则 m∥α; ③若 m⊥n,n⊥α,则 m∥α;④若 m⊥β,α⊥β,则 m∥α. 其中正确命题的个数是( A.1 C .3 ) B.2 D.4
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[答案] D [解析] ①过 n 作平面 γ∩α=a,∵n∥α,∴n∥a,又 m∥n,∴m∥a,∵m?α,∴m∥α,∴①正确; ②过 m 作平面 γ1∩β=b,∵m∥β,∴m∥b,∵α∥β,∴b∥α,过 b 作平面 γ2∩α=c,则 b∥c,∴m ∥c,∵m?α,∴m∥α,∴②正确; ③在直线 n 上取点 P,过点 P 作 m′∥m,∵n⊥m,∴n⊥m′,设 m′与 n 确定的平面为 δ, ∵n⊥α,∴n 与 α 相交,故平面 δ 与 α 相交,设交线为 d,则 n⊥d,∴m′∥d,∴m∥d,∵m?平面 α, ∴m∥α,∴③正确; ④设 α 与 β 的交线为 l,在 α 内作直线 g⊥l,则 g⊥β,∵m⊥β,∴m∥g,∵m?α,∴m∥α,故④ 正确. 12. (2014· 广东执信中学期中)如图所示, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且总是保持 AP⊥BD1,则动点 P 的轨迹是( )

A.线段 B1C B.线段 BC1 C.BB1 的中点与 CC1 中点连成的线段 D.BC 中点与 B1C1 中点连成的线段 [答案] A [解析] 如图所示,连接 AB1,B1C,AC,由于四边形 ABCD 为正方形,所以 AC⊥BD.因 为 DD1⊥平面 ABCD, AC?平面 ABCD, 所以 AC⊥DD1.因为 BD∩DD1=D, 所以 AC⊥平面 BDD1. 因为 BD1?平面 BDD1,所以 BD1⊥AC,同理可证 BD1⊥AB1.因为 AB1∩AC=A,所以 BD1⊥平面 AB1C.因为 B1C?平面 AB1C,所以 BD1⊥B1C.过点 A 有且只有一个平面与 BD1 垂直,且过点 A 与 BD1 垂直的直线都在此平面内,故 AP?平面 AB1C,而平面 AB1C∩平面 BCC1B1=B1C,故 点 P 在侧面 BCC1B1 内的轨迹为线段 B1C,故选 A.

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13.(文)(2013· 天津一中月考)在正三棱锥 P-ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 的中点,有 下列三个论断: ①AC⊥PB;②AC∥平面 PDE;③AB⊥平面 PDE,其中正确论断的个数为( )

A.3 个 C .1 个 [答案] C

B.2 个 D.0 个

[解析] 过 P 作 PO⊥平面 ABC 于 O,则 PO⊥AC,又正三角形中 BE⊥AC,所以 AC⊥平面 PBE,所以 AC⊥PB,所以①正确,②错误.因为 AB 与 AC 相交,所以③不正确,所以正确论 断只有 1 个. (理)已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC,则下列结论不正确 的是 ... ( )

A.CD∥平面 PAF C.CF∥平面 PAB [答案] D

B.DF⊥平面 PAF D.CF⊥平面 PAD

[解析] 对于 A,∵CD∥AF,CD?平面 PAF,AF?平面 PAF.∴CD∥平面 PAF.故 A 正确.对 于 B,∵DF⊥AF,DF⊥PA,PA∩AF=A.∴DF⊥平面 PAF.故 B 正确.对于 C,∵CF∥AB,CF?平面 PAB,AB?平面 PAB.∴CF∥平面 PAB.故 C 正确.对于 D,若 CF⊥平面 PAD,则 CF⊥AD,而 CF
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与 AD 夹角为 60° ,故 D 错.所以选 D. 14.(文)(2014· 洛阳检测)如图,PA 垂直于圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点,E, F 分别是点 A 在 PB, PC 上的射影,给出下列结论: ①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥BC. 正确命题的个数为( )

A.1 C .3 [答案] C

B.2 D.4

[解析] ∵AB 是圆 O 的直径,∴AC⊥BC,又 PA⊥面圆 O,故 PA⊥BC,且 PA∩AC=A,∴BC ⊥面 PAC, ∴BC⊥AF,又 AF⊥PC,且 PC∩BC=C,∴AF⊥面 PBC,故 AF⊥BC,AF⊥PB,又 AE⊥PB, 且 AF∩AE=A,所以 PB⊥面 AEF,从而 EF⊥PB,故①②③正确,若 AE⊥BC,则可证 AE⊥面 PBC,则 AE∥AC∥AF,这是不可能的,选 C. (理)(2014· 福建质量检查)如图,AB 是⊙O 的直径,VA 垂直⊙O 所在的平面,C 是圆周上 不同于 A、B 的任意一点,M、N 分别为 VA、VC 的中点,则下列结论正确的是( )

A.MN∥AB B.MN 与 BC 所成的角为 45° C.OC⊥平面 VAC D.平面 VAC⊥平面 VBC [答案] D [解析] 依题意,MN∥AC,又直线 AC 与 AB 相交,因此 MN 与 AB 不平行;注意到 AC⊥ BC,因此 MN 与 BC 所成的角是 90° ;注意到直线 OC 与 AC 不垂直,因此 OC 与平面 VAC 不
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垂直; 由于 BC⊥AC, BC⊥VA, 因此 BC⊥平面 VAC.又 BC?平面 VBC, 所以平面 VBC⊥平面 VAC. 综上所述可知选 D. 二、填空题 15.(2015· 深圳五校一联)已知 m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ 是三个两两不重合的 平面,给出下列四个命题,其中所有正确命题的序号是________. ①若 m∥β,n∥β,m、n?α,则 α∥β. ②若 α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,n?γ,则 m⊥n. ③若 m⊥α,α⊥β,m∥n,则 n∥β. ④若 n∥α,n∥β,α∩β=m,那么 m∥n. [答案] ②④ [解析] 在选项①中,只有两条相交直线都平行于另一个平面才能有两平面互相平行,所 以①不正确;在③中,直线 n 有可能在平面 β 内,所以③不正确,所以只有②④正确. 16.(2014· 保定高阳中学月考)在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 AC1,A1B1 的中点,点 P 在正方体的表面上运动,则总能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨 迹的周长等于________. [答案] 2+ 5 [解析] 如图所示,E,F,E1,F1 分别为 AA1,DD1,BB1,CC1 的四等分点,可证 BN⊥ 平面 EFF1E1.又 M 为 AC1 的中点, 所以 M 在平面 EFF1E1 上, 故点 P 所构成的轨迹是平行四边 形 FEE1F1,周长等于 2EF+2EE1=2+ 5.

三、解答题 17.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=1, AB= 3,点 E 在 CD 上移动.

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(1)求三棱锥 E-PAB 的体积; (2)试在 PD 上找一点 F,使得 PE⊥AF,并证明你的结论. [解析] (1)∵PA⊥平面 ABCD, 1 ∴VE-PAB=VP-ABE= S△ABE· PA 3

1 1 3 = × ×1× 3×1= . 3 2 6 (2)F 是 PD 的中点. ∵PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD,∴CD⊥PA. ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴CD⊥AD, ∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面 PAD, ∵F 是 PD 上的点,AF?平面 PAD,∴AF⊥DC, ∵PA=AD,点 F 是 PD 的中点,∴AF⊥PD, 又 CD∩PD=D,∴AF⊥平面 PDC, ∵PE?平面 PDC,∴PE⊥AF. 18.(文)(2015· 安徽示范高中一联)直角三角形 ABC 中,∠ACB=90° ,AB=2BC=2,D, E 分别为 AC,AB 的中点,将△ADE 沿 DE 折起,使△ADC 为等边三角形,如图所示.

(1)求证:平面 ADC⊥平面 ABC; (2)求四棱锥 A-BCDE 的体积. [解析] (1)D、E 是边 AC、AB 的中点, ∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE⊥AC.
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DE⊥AD

? ? DE⊥DC ??DE⊥平面 ADC. AD∩DC=D? ?

∵DE∥BC,∴BC⊥平面 ADC,∴平面 ADC⊥平面 ABC.

(2)过点 A 作 AM⊥CD,∴AM⊥平面 CBED,M 为 DC 的中点, ∵AB=2BC=2,∠ACB=90° , ∴在折起前 AC= 3, ∴AD= 3 3 ,∴AM= , 2 4

1 1 又 DE= BC= , 2 2 1 1 3 3 3 ∴S 梯形 BCDE= ×( +1)× = , 2 2 2 8 1 3 3 ∴VA-BCDE= S 梯形 BCDE· AM= . 3 32 (理)(2014· 安徽宣城调研)如图所示,三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形, 侧棱 A1A⊥底面 ABC,点 E,F 分别是棱 CC1,BB1 上的点,点 M 是线段 AC 上的动点,EC= 2FB=2.

(1)当点 M 在何位置时,BM∥平面 AEF? (2)若 BM∥平面 AEF,判断 BM 与 EF 的位置关系,说明理由;并求 BM 与 EF 所成的角 的余弦值. [解析] (1)方法一:如图(1)所示,取 AE 的中点 O,连接 OF,过点 O 作 OM⊥AC 于点 M. 因为侧棱 A1A⊥底面 ABC,所以侧面 A1ACC1⊥底面 ABC.又因为 EC=2FB=2,所以 OM∥FB∥EC
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1 且 OM= EC=FB,所以四边形 OMBF 为矩形,BM∥OF.因为 OF?平面 AEF,BM?平面 AEF, 2 故 BM∥平面 AEF,此时点 M 为 AC 的中点. 方法二:如图(2)所示,取 EC 的中点 P,AC 的中点 Q,连接 PQ,PB,BQ,因为 EC=2FB =2,所以 PE 綊 BF,所以 PQ∥AE,PB∥EF,所以 PQ∥平面 AFE,PB∥平面 AEF,因为 PB∩PQ =P,PB,PQ?平面 PBQ,所以平面 PBQ∥平面 AEF.又因为 BQ?平面 PBQ,所以 BQ∥平面 AEF.故点 Q 即为所求的点 M,此时点 M 为 AC 的中点.

(2)由(1)知, BM 与 EF 异面, ∠OFE(或∠MBP)就是异面直线 BM 与 EF 所成的角或其补角. 易 求 AF=EF= 5,MB=OF= 3,OF⊥AE,所以 cos∠OFE= 所成的角的余弦值为 15 . 5 OF 3 15 = = ,所以 BM 与 EF EF 5 5

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