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2019高三数学文北师大版一轮:第4章 第1节 平面向量的概念及线性运算

2019高三数学文北师大版一轮:第4章 第1节 平面向量的概念及线性运算

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第 章 平面向量、数系的扩充与复数的
引入 第一节 平面向量的概念及线性运算
[考纲传真] 1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和两个向量相等的含 义,理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算,理解其几何意义.3.掌握 向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的 性质及其几何意义.

(对应学生用书第 57 页)

[基础知识填充]

1.向量的有关概念

(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或

模).

(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.

(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:

0与任一向量平行.

(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量 运算

定义

法则 (或几何意义)

运算律

(1)交换律:

求两个向量和的运 加法


三角形法则

a+b=b+a; (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+

c)

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平行四边形法则

求 a 与 b 的相反向

减法 量-b 的和的运算

a-b=a+(-b)

叫做 a 与 b 的差

三角形法则

求实数 λ 与向量 a 数乘
的积的运算

(1)|λa|=|λ||a|; (2)当 λ>0 时,λa 的方向与 λ(μa)=λμa; a 的方向相同;当 λ<0 时, (λ+μ)a=λa+μa; λa 的方向与 a 的方向相 λ(a+b)=λa+λb

反;当 λ=0 时,λa=0

3. 共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ,使得 b=λA.

[知识拓展]

1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个

向量终点的向量,即A→1A2+A→2A3+A→3A4+…+An→-1An=A→1An,特别地,一个封 闭图形,首尾连接而成的向量和为零向量.

2.若 P 为线段 AB 的中点,O 为平面内任一点,则O→P=12(O→A+O→B).

3.O→A=xO→B+yO→C(x,y 为实数),若点 A,B,C 共线,则 x+y=1. 4.△ABC 中,P→A+P→B+P→C=0?点 P 为△ABC 的重心.

[基本能力自测]

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量.( )

(2)若 a∥b,b∥c,则 a∥C.( )

(3)a∥b 是 a=λb(λ∈R)的充要条件.( )

(4)△ABC 中,D 是 BC 的中点,则A→D=12(A→C+A→B).(

)

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√

2.(2015·全国卷Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点,B→C=3C→D,则( )

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A.A→D=-13A→B+43A→C B.A→D=13A→B-43A→C C.A→D=43A→B+13A→C D.A→D=43A→B-13A→C A [A→D=A→C+C→D=A→C+13B→C=A→C+13(A→C-A→B)=43A→C-13A→B=-13A→B+43A→C. 故选 A.] 3.(2018·长春模拟)设点 P 是△ABC 所在平面内一点,且B→C+B→A=2B→P,则P→C+ P→A=________. 0 [因为B→C+B→A=2B→P,由平行四边形法则知,点 P 为 AC 的中点,故P→C+ P→A=0.] 4.(教材改编)已知?ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O,且O→A=a,O→B=b, 则D→C=________,B→C=________(用 a,b 表示). b-a -a-b [如图,D→C=A→B=O→B-O→A=b-a,

B→C=O→C-O→B=-O→A-O→B=-a-B.] 5.已知 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与-(b-3a)共线,则 λ=________.
-13 [由已知得 a+λb=-k(b-3a),

?λ=-k, ∴??3k=1,

??λ=-13, 得???k=13.

]

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(对应学生用书第 58 页) 平面向量的有关概念
给出下列六个命题: ①若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b; ②若A→B=D→C,则 ABCD 为平行四边形; ③若 a 与 b 同向,且|a|>|b|,则 a>b; ④λ,μ 为实数,若 λa=μb,则 a 与 b 共线; ⑤λa=0(λ 为实数),则 λ 必为零; ⑥a,b 为非零向量,a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥B. 其中假命题的序号为________. 【导学号:00090124】 ①②③④⑤⑥ [①不正确.|a|=|b|.但 a,b 的方向不确定,故 a,b 不一定是 相等或相反向量; ②不正确.因为A→B=D→C,A,B,C,D 可能在同一直线上,所以 ABCD 不一 定是四边形. ③不正确.两向量不能比较大小. ④不正确.当 λ=μ=0 时,a 与 b 可以为任意向量,满足 λa=μb,但 a 与 b 不 一定共线. ⑤不正确.当 λ=1,a=0 时,λa=0. ⑥不正确.对于非零向量 a,b,a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a,b 同向.] [规律方法] 1.(1)易忽视零向量这一特殊向量,误认为④是正确的;(2)充分利 用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法. 2.(1)相等向量具有传递性,非零向量平行也具有传递性.(2)共线向量(平行 向量)和相等向量均与向量的起点无关. 3.若 a 为非零向量,则|aa|是与 a 同向的单位向量,-|aa|是与 a 反向的单位向 量. [变式训练 1] 设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0;② 若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.上述命题中,
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假命题的个数是 ( )

A.0

B.1

C.2

D.3

D [向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相同,但方向不一定相同, 故①是假命题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二 是反向,反向时 a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是

3.]

平面向量的线性运算

(1)(2018·开封模拟)设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中

点,则E→B+F→C=( )

A.B→C

B.12A→D

C.A→D

D.12B→C

(2)(2018·广州模拟)在梯形 ABCD 中,AD∥BC,已知 AD=4,BC=6,若C→D=

mB→A+nB→C(m,n∈R),则mn =(

)

A.-3

B.-13

C.13

D.3

(1)C (2)A [(1)如图,E→B+F→C=E→C+C→B+F→B+B→C

=E→C+F→B=12(A→C+A→B) =12·2A→D=A→D. (2)如图,过 D 作 DE∥AB,C→D=mB→A+nB→C=C→E+E→D=-13B→C+B→A,
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所以 n=-13,m=1,所以mn =-3.故选 A.]

[规律方法] 向量的线性运算的求解方法

(1)进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶

点出发的基本向量或首尾相接的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来求

解.

(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外,有时还需要利用

三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化

为与已知向量有直接关系的向量来求解.

[变式训练 2] (1)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD

所在平面内任意一点,则O→A+O→B+O→C+O→D等于( )

A.O→M

B.2O→M

C.3O→M

D.4O→M

(2)(2018·北京模拟)在△ABC 中,点 M,N 满足A→M=2M→C,B→N=N→C.若M→N=xA→B

+yA→C,则 x=________;y=________. 【导学号:00090125】

(1)D

1 (2)2

-16

[(1)因为 M 是 AC 和 BD 的中点,由平行四边形法则,得O→A

+O→C=2O→M,O→B+O→D=2O→M,所以O→A+O→B+O→C+O→D=4O→M.故选 D.

(2)由题中条件得,M→N=M→C+C→N=13A→C+12C→B=13A→C+12(A→B-A→C)=12A→B-16A→C

=xA→B+yA→C,所以 x=12,y=-16.]

共线向量定理的应用

设两个非零向量 a 与 b 不共线,

(1)若A→B=a+b,B→C=2a+8b,C→D=3(a-b),求证:A,B,D 三点共线;

(2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线.

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[解] (1)证明:∵A→B=a+b,B→C=2a+8b,C→D=3(a-b), ∴B→D=B→C+C→D=2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5A→B. ∴A→B,B→D共线,又∵它们有公共点 B, ∴A,B,D 三点共线. (2)∵ka+b 和 a+kb 共线, ∴存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), 即 ka+b=λa+λkb,∴(k-λ)a=(λk-1)B. ∵a,b 是两个不共线的非零向量, ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1. [规律方法] 共线向量定理的应用 (1)证明向量共线:对于向量 a,b,若存在实数 λ,使 a=λb,则 a 与 b 共线. (2)证明三点共线:若存在实数 λ,使A→B=λA→C,则 A,B,C 三点共线. (3)求参数的值:利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. 易错警示:证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.

[变式训练 3] (1)已知向量A→B=a+3b,B→C=5a+3b,C→D=-3a+3b,则( )

A.A,B,C 三点共线

B.A,B,D 三点共线

C.A,C,D 三点共线

D.B,C,D 三点共线

(2)(2015·全国卷Ⅱ)设向量 a,b 不平行,向量 λa+b 与 a+2b 平行,则实数 λ

=________.

(1)B

1 (2)2

[(1)∵B→D=B→C+C→D=2a+6b=2(a+3b)=2A→B,∴B→D,A→B共线,

又有公共点 B,

∴A,B,D 三点共线.故选 B.

(2)∵λa+b 与 a+2b 平行,∴λa+b=t(a+2b),

即 λa+b=ta+2tb,∴???λ1==t2,t,

??λ=12, 解得???t=12.

]

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