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海伦市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

海伦市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

一、选择题

海伦市二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 姓名__________ 分数__________

1. 将函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,则它的一个对称中心是( )

A.

B.

C.

D.

2. 棱台的两底面面积为 S1 、 S2 ,中截面(过各棱中点的面积)面积为 S0 ,那么(

A. 2 S0 ? S1 ? S2

B. S0 ? S1S2

C. 2S0 ? S1 ? S2


D. S02 ? 2S1S2

3. 点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 A1B1C1D1 上一点,则

的取值范围是( )

A.[﹣1,﹣ ]

B.[﹣ ,﹣ ]

C.[﹣1,0]

D.[﹣ ,0]

4. 函数 f(x)=1﹣xlnx 的零点所在区间是( ) A.(0, )B.( ,1) C.(1,2) D.(2,3)

5. 二项式(x2﹣ )6 的展开式中不含 x3 项的系数之和为(



A.20 B.24 C.30 D.36

6. 双曲线

上一点 P 到左焦点的距离为 5,则点 P 到右焦点的距离为( )

A.13 B.15 C.12 D.11

7. 为了得到函数

的图象,只需把函数 y=sin3x 的图象( )

A.向右平移 个单位长度

B.向左平移 个单位长度

C.向右平移 个单位长度

D.向左平移 个单位长度

8. 已知集合 A,B,C 中,A?B,A?C,若 B={0,1,2,3},C={0,2,4},则 A 的子集最多有( )

A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个

9. 设集合 A={x||x﹣2|≤2,x∈R},B={y|y=﹣x2,﹣1≤x≤2},则? R(A∩B)等于(



A.R B.{x|x∈R,x≠0} C.{0} D.?

10.已知直线 x+y+a=0 与圆 x2+y2=1 交于不同的两点 A、B,O 是坐标原点,且

,那么实数

a 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

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11.在△ ABC 中,AB 边上的中线 CO=2,若动点 P 满足 =(sin2θ) +(cos2θ) (θ∈R),则( + ) ? 的最小值是( ) A.1 B.﹣1 C.﹣2 D.0

12.过点(0,﹣2)的直线 l 与圆 x2+y2=1 有公共点,则直线 l 的倾斜角的取值范围是(



A.

B.

C.

D.

二、填空题

13.若函数 f(x)=

﹣m 在 x=1 处取得极值,则实数 m 的值是 .

14.已知 f (x) 是定义在 R 上函数, f ?(x) 是 f (x) 的导数,给出结论如下:

①若 f ?(x) ? f (x) ? 0 ,且 f (0) ? 1,则不等式 f (x) ? e?x 的解集为 (0, ??) ;

②若 f ?(x) ? f (x) ? 0 ,则 f (2015) ? ef (2014) ;

③若 xf ?(x) ? 2 f (x) ? 0 ,则 f (2n?1) ? 4 f (2n ), n ? N ? ;

④若 f ?(x) ? f (x) ? 0 ,且 f (0) ? e ,则函数 xf (x) 有极小值 0 ; x
⑤若 xf ?(x) ? f (x) ? ex ,且 f (1) ? e ,则函数 f (x) 在 (0, ??) 上递增. x

其中所有正确结论的序号是



15.如图所示,在三棱锥 C﹣ABD 中,E、F 分别是 AC 和 BD 的中点,若 CD=2AB=4,EF⊥AB,则 EF 与

CD 所成的角是



16.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 为 BD1 的中点,则△ PAC 在该正方体各个面上的射影可能





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精选高中模拟试卷

17.已知平面向量 a , b 的夹角为 ?



a?

?

? b

? 6,向量 c ? a , c ? b 的夹角为 2?



c?a

?2

3 ,则 a? 与

3

3

c? 的夹角为__________, a ? c 的最大值为



【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识,意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.

18.某公司对 140 名新员工进行培训,新员工中男员工有 80 人,女员工有 60 人,培训结束后用分层抽样的方

法调查培训结果. 已知男员工抽取了 16 人,则女员工应抽取人数为

.

三、解答题

19.(本小题满分 12 分)若二次函数 f ? x? ? ax2 ? bx ? c?a ? 0? 满足 f ? x+1? ? f ? x? ? 2x ,

且 f ?0? ?1.

(1)求 f ? x? 的解析式;

(2)若在区间??1,1? 上,不等式 f ? x? ? 2x ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分)△ABC 的三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,AD 是 BC 边上的中线. (1)求证:AD=12 2b2+2c2-a2; (2)若 A=120°,AD= 219,ssiinn CB=35,求△ABC 的面积.
21.(本小题满分 12 分)
如图(1),在三角形 PCD 中, AB 为其中位线,且 2BD ? PC ,若沿 AB 将三角形 PAB 折起,使 ?PAD ?? ,构成四棱锥 P ? ABCD ,且 PC ? CD ? 2 .
PF CE
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(1)求证:平面 BEF ? 平面 PAB ; (2)当 异面直线 BF 与 PA 所成的角为 ? 时,求折起的角度.
3
22.已知 a>0,a≠1,命题 p:“函数 f(x)=ax 在(0,+∞)上单调递减”,命题 q:“关于 x 的不等式 x2﹣2ax+ ≥0 对一切的 x∈R 恒成立”,若 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,求实数 a 的取值范围.
23.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
选修 4 ?1:几何证明选讲 如图, A, B,C 为 ? 上的三个点, AD 是 ?BAC 的平分线,交 ? 于 点 D ,过 B 作 ? 的切线交 AD 的延长线于点 E . (Ⅰ)证明: BD 平分 ?EBC ; (Ⅱ)证明: AE ? DC ? AB? BE .
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24.火车站 北偏东 方向的 处有一电视塔,火车站正东方向的 处有一小汽车,测得 距离为 31 , 该小汽车从 处以 60 的速度前往火车站,20 分钟后到达 处,测得离电视塔 21 ,问小汽车到火车站还需 多长时间?
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海伦市二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位,则函数变为 y=sin[2(x﹣ )]=sin(2x﹣ ); 考察选项不难发现: 当 x= 时,sin(2× ﹣ )=0;
∴( ,0)就是函数的一个对称中心坐标. 故选:D. 【点评】本题是基础题,考查三角函数图象的平移变换,函数的对称中心坐标问题,考查计算能力,逻辑推理 能力,常考题型.

2. 【答案】A

【解析】

试题分析:不妨设棱台为三棱台,设棱台的高为 2h 上部三棱锥的高为,根据相似比的性质可得:

???( ? ?(

a

a )2 ? S? ? 2h S a )2 ? S?

,解得

2

S0 ?

S?

S? ,故选 A.

?? a ? h S0

考点:棱台的结构特征.

3. 【答案】D

【解析】解:如图所示:以点 D 为原点,以 DA 所在的直线为 x 轴,以 DC 所在的直线为 y 轴,以 DD1 所在 的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系. 则点 A(1,0,0),C1 (0,1,1),设点 P 的坐标为(x,y,z),则由题意可得 0≤x≤1,0≤y≤1,z=1.

∴ =(1﹣x,﹣y,﹣1), =(﹣x,1﹣y,0),



=﹣x(1﹣x)﹣y(1﹣y)+0=x2﹣x+y2﹣y=

+

﹣,

由二次函数的性质可得,当 x=y= 时,

取得最小值为﹣ ;

故当 x=0 或 1,且 y=0 或 1 时,

取得最大值为 0,



的取值范围是[﹣ ,0],

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故选 D.

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【点评】本题主要考查向量在几何中的应用,两个向量的数量积公式,两个向量坐标形式的运算,属于中档题.
4. 【答案】C 【解析】解:∵f(1)=1>0,f(2)=1﹣2ln2=ln <0, ∴函数 f(x)=1﹣xlnx 的零点所在区间是(1,2). 故选:C. 【点评】本题主要考查函数零点区间的判断,判断的主要方法是利用根的存在性定理,判断函数在给定区间端 点处的符号是否相反.
5. 【答案】A 【解析】解:二项式的展开式的通项公式为 Tr+1= ?(﹣1)r?x12﹣3r,令 12﹣3r=3,求得 r=3, 故展开式中含 x3 项的系数为 ?(﹣1)3=﹣20,而所有系数和为 0, 不含 x3 项的系数之和为 20, 故选:A. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的 系数,属于中档题.
6. 【答案】A
【解析】解:设点 P 到双曲线的右焦点的距离是 x,
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∵双曲线
∴|x﹣5|=2×4 ∵x>0,∴x=13 故选 A.

上一点 P 到左焦点的距离为 5,

7. 【答案】A 【解析】解:把函数 y=sin3x 的图象向右平移 个单位长度,可得 y=sin3(x﹣ )=sin(3x﹣ )的图象,

故选:A. 【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,属于基础题.

8. 【答案】B 【解析】解:因为 B={0,1,2,3},C={0,2,4},且 A?B,A?C; ∴A?B∩C={0,2} ∴集合 A 可能为{0,2},即最多有 2 个元素, 故最多有 4 个子集. 故选:B.

9. 【答案】B 【解析】解:A=[0,4],B=[﹣4,0],所以 A∩B={0},?R(A∩B)={x|x∈R,x≠0}, 故选 B.

10.【答案】A

【解析】解:设 AB 的中点为 C,则

因为



所以|OC|≥|AC|,

因为|OC|= ,|AC|2=1﹣|OC|2,

所以 2( )2≥1,

所以 a≤﹣1 或 a≥1,

因为 <1,所以﹣ <a< ,

所以实数 a 的取值范围是



故选:A.

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【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,属于中档题.

11.【答案】 C 【解析】解:∵ =(sin2θ) +(cos2θ) (θ∈R), 且 sin2θ+cos2θ=1, ∴ =(1﹣cos2θ) +(cos2θ) = +cos2θ?( ﹣ ), 即 ﹣ =cos2θ?( ﹣ ), 可得 =cos2θ? , 又∵cos2θ∈[0,1],∴P 在线段 OC 上, 由于 AB 边上的中线 CO=2, 因此( + )? =2 ? ,设| |=t,t∈[0,2], 可得( + )? =﹣2t(2﹣t)=2t2﹣4t=2(t﹣1)2﹣2, ∴当 t=1 时,( + )? 的最小值等于﹣2. 故选 C. 【点评】本题着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式和二次 函数的性质等知识,属于中档题.

12.【答案】A 【解析】解:若直线斜率不存在,此时 x=0 与圆有交点, 直线斜率存在,设为 k,则过 P 的直线方程为 y=kx﹣2, 即 kx﹣y﹣2=0, 若过点(0,﹣2)的直线 l 与圆 x2+y2=1 有公共点, 则圆心到直线的距离 d≤1,



≤1,即 k2﹣3≥0,

解得 k≤﹣ 或 k≥ , 即 ≤α≤ 且 α≠ ,

综上所述, ≤α≤ , 故选:A.

二、填空题
13.【答案】 ﹣2

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【解析】解:函数 f(x)=

﹣m 的导数为 f′(x)=mx2+2x,

由函数 f(x)=

﹣m 在 x=1 处取得极值,

即有 f′(1)=0, 即 m+2=0,解得 m=﹣2, 即有 f′(x)=﹣2x2+2x=﹣2(x﹣1)x, 可得 x=1 处附近导数左正右负,为极大值点. 故答案为:﹣2. 【点评】本题考查导数的运用:求极值,主要考查由极值点求参数的方法,属于基础题.

14.【答案】②④⑤

【解析】解析:构造函数 g(x) ? ex f (x) , g?(x) ? ex[ f (x) ? f ?(x)] ? 0 , g(x) 在 R 上递增,

∴ f (x) ? e?x ? ex f (x) ? 1 ? g(x) ? g(0) ? x ? 0 ,∴①错误;

构造函数 g(x) ?

f (x) ex



g?(x)

?

f ?(x) ? ex

f (x)

? 0 , g(x) 在 R 上递增,∴ g(2015) ? g(2014) ,

∴ f (2015) ? ef (2014) ∴②正确;

构造函数 g(x) ? x2 f (x) , g?(x) ? 2xf (x) ? x2 f ?(x) ? x[2 f (x) ? xf ?(x)] ,当 x ? 0 时, g?(x) ? 0 ,∴ g(2n?1) ? g(2n ) ,∴ f (2n?1) ? 4 f (2n ) ,∴③错误;



f ?(x) ?

f (x)

?0得

xf ?(x) ?

f (x)

? xf (x)??
? 0 ,即

? 0 ,∴函数 xf (x) 在 (0, ??) 上递增,在 (??, 0) 上递

x

x

x

减,∴函数 xf (x) 的极小值为 0? f (0) ? 0 ,∴④正确;



xf

?(x) ?

f

(x)

?

ex x



f

?( x)

?

ex

? xf x2

(x)

,设 g(x)

?

ex

?

xf

(x) ,则

g?(x) ? ex ? f (x) ? xf ?(x) ? ex ? ex ? ex (x ?1) ,当 x ?1时, g?(x) ? 0 ,当 0 ? x ?1时, g?(x) ? 0 ,∴当 xx

x ? 0 时, g(x) ? g(1) ? 0 ,即 f ?(x) ? 0 ,∴⑤正确.

15.【答案】 30° .

【解析】解:取 AD 的中点 G,连接 EG,GF 则 EG DC=2,GF AB=1,
故∠GEF 即为 EF 与 CD 所成的角. 又∵FE⊥AB∴FE⊥GF∴在 Rt△EFG 中 EG=2,GF=1 故∠GEF=30°. 故答案为:30°

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【点评】此题的关键是作出 AD 的中点然后利用题中的条件在特殊三角形中求解,如果一味的想利用余弦定理 求解就出力不讨好了. 16.【答案】 ①④ . 【解析】解:由所给的正方体知, △PAC 在该正方体上下面上的射影是①, △PAC 在该正方体左右面上的射影是④, △PAC 在该正方体前后面上的射影是④ 故答案为:①④
17.【答案】 ? ,18 ?12 3 . 6
【解析】
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18.【答案】12 【解析】
考点:分层抽样
三、解答题
19.【答案】(1) f ? x? =x2 ? x+1;(2) m ? ?1.
【解析】
试题分析:(1)根据二次函数 f ? x? ? ax2 ? bx ? c?a ? 0? 满足 f ? x+1? ? f ? x? ? 2x ,利用多项式相等,即 可求解 a, b 的值,得到函数的解析式;(2)由 x ???1,1? , f ? x? ? m恒成立,转化为 m ? x2 ? 3x ?1 ,设 g? x? ? x2 ?3x ?1,只需 m ? g ? x? ,即可而求解实数 m 的取值范围.
min
试题解析:(1) f ? x? ? ax2 ? bx ? c?a ? 0? 满足 f ?0? ?1,c ?1 f ? x ?1? ? f ? x? ? 2x, a? x ?1?2 ? b? x ?1? ? ax2 ? bx ? 2x ,解得 a ? 1,b ? ?1, 故 f ? x? =x2 ? x+1.
考点:函数的解析式;函数的恒成立问题. 【方法点晴】本题主要考查了函数解析式的求解、函数的恒成立问题,其中解答中涉及到一元二次函数的性质、 多项式相等问题、以及不等式的恒成立问题等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,
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精选高中模拟试卷
推理与运算能力,以及转化与化归思想,试题有一定的难度,属于中档试题,其中正确把不等式的恒成立问题 转化为函数的最值问题是解答的关键. 20.【答案】 【解析】解:

(1)证明:∵D 是 BC 的中点,

∴BD=DC=a2. 法一:在△ABD 与△ACD 中分别由余弦定理得 c2=AD2+a42-2AD·
a2cos∠ADB,① b2=AD2+a42-2AD·a2·cos∠ADC,② ①+②得 c2+b2=2AD2+a22,
即 4AD2=2b2+2c2-a2,

∴AD=12 2b2+2c2-a2.

法二:在△ABD 中,由余弦定理得 AD2=c2+a42-2c·a2cos B

=c2+a42-ac·a2+2ca2c-b2

2b2+2c2-a2



4



∴AD=12 2b2+2c2-a2.

(2)∵A=120°,AD=12 19,ssiinn CB=35,

由余弦定理和正弦定理与(1)可得

a2=b2+c2+bc,①

2b2+2c2-a2=19,②

bc=35,③

联立①②③解得 b=3,c=5,a=7,

∴△ABC

的面积为

S=12bc

sin

A=12×3×5×sin

120°=154

3 .

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即△ABC 的面积为145 3.
21.【答案】(1)证明见解析;(2)? ? 2? . 3
【解析】
试题分析:(1)可先证 BA ? PA ,BA ? AD 从而得到 BA ?平面 PAD ,再证 CD ? FE , CD ? BE 可得 CD ? 平面 BEF ,由 CD // AB ,可证明平面 BEF ? 平面 PAB ;(2)由 ?PAD ? ? ,取 BD 的中点 G ,连接 FG, AG , 可得 ?PAG 即为异面直线 BF 与 PA 所成的角或其补角,即为所折起的角度.在三角形中求角即可. 1
试题解析:
(2)因为 ?PAD ? ? ,取 BD 的中点 G ,连接 FG, AG ,所以 FG // CD , FG ? 1 CD ,又 AB // CD , 2
AB ? 1 CD ,所以 FG // AB , FG ? AB ,从而四边形 ABFG 为平行四边形,所以 BF // AG ,得;同时, 2
因为 PA ? AD , ?PAD ? ? ,所以 ?PAD ? ? ,故折起的角度? ? 2? . 3
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考点:点、线、面之间的位置关系的判定与性质. 22.【答案】

【解析】解:若 p 为真,则 0<a<1;

若 q 为真,则△=4a2﹣1≤0,得



又 a>0,a≠1,∴



因为 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,所以 p,q 中必有一个为真,且另一个为假.

①当 p 为真,q 为假时,由



②当 p 为假,q 为真时,

无解.

综上,a 的取值范围是



【点评】1.求解本题时,应注意大前提“a>0,a≠1”,a 的取值范围是在此条件下进行的. 23.【答案】
【解析】【解析】(Ⅰ)因为 BE 是⊙ O 的切线,所以 ?EBD ? ?BAD …………2 分 又因为 ?CBD ? ?CAD, ?BAD ? ?CAD ………………4 分 所以 ?EBD ? ?CBD ,即 BD 平分 ?EBC .………………5 分 (Ⅱ)由⑴可知 ?EBD ? ?BAD ,且 ?BED ? ?BED , ?BDE ∽ ?ABE ,所以 BE ? BD ,……………………7 分
AE AB

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又因为 ?BCD ? ?BAE ? ?DBE ? ?DBC , 所以 ?BCD ? ?DBC , BD ? CD .……………………8 分 所以 BE ? BD ? CD ,……………………9 分
AE AB AB 所以 AE ? DC ? AB ? BE .……………………10 分
24.【答案】

【解析】

解:由条件 = ,设

,



中,由余弦定理得

.

=.



中,由正弦定理,得

(分钟) 答到火车站还需 15 分钟.

()

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