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2014-2015高一数学必修一第二章函数学案(11份) 人教课标版8(优秀教案)

2014-2015高一数学必修一第二章函数学案(11份) 人教课标版8(优秀教案)

§ 函数的应用()
【入门向导】 学以致用.数学来源于生活,又应用于生活.运用数学知识解决实际问题的过程就是“数 学建模”过程.通过观察分析做一些必要的简化假设,用数学语言表述出实际问题的数学模 型(各种数学公式、方程式、定理、理论体系等,都是一些具体的数学模型),这种解决问题 的方法称之为数学建模方法.建构数学模型方法的步骤大致上为实际问题→分析抽象→建立 模型→数学问题→数学解→实际解→检验.举个简单的例子,二次函数就是一个数学模型, 很多数学问题甚至实际问题都可以转化为二次函数来解决.
一次函数与二次函数模型的应用
.一次函数模型 即一次函数模型=+(≠).现实生活中例如:匀速直线运动中路程和时间的关系,弹簧 秤的工作原理是弹簧的拉力与伸长长度满足一次函数关系. .二次函数模型 形如=++(≠)的函数模型是二次函数模型. .解函数应用题的基本步骤 第一步,阅读理解,审清题意. 读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,在此基础上, 分析出已知是什么,求什么,从中提炼出相应数学问题. 第二步,引入数学符号,建立数学模型. 一般地设自变量为,函数为,必要时引入其他相关辅助变量,并且,和辅助变量表示各 相关量,然后根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其它相关知识建立函数关 系式,在此基础上将实际问题转化为一个函数问题,使实际问题数学化,即所谓数学模型. 第三步,利用数学方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果. 第四步,再将所得结论转译成具体问题的答案. 一、一次函数的模型 例某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器台和台,现销售给地台,地台.已知 从甲地调运台至地、地的运费分别为元和元,从乙地调运台至地、地的运费分别为元和元. ()若总运费不超过元,问共有几种调运方案? ()求出总运费最低的调运方案及最低的运费.
解画一个草图,如图所示,设从甲地运台到地,那么甲地的另-台运往地.由于地购台, 因此,尚需从乙地运去-台,乙地的另-(-)台运往地.设总运费为,
则=+(-)+(-)+[-(-)] =-+. ()由≤,即-+≤,得≥. 由于甲地有台,地需要台,因此有三种调运方案,即从甲地运台、台或台到地.

()由于=-+为减函数,又≤≤,因此,当=时,运费最低,最低运费为元. 二、二次函数的模型 例心理学家发现,学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间(单位:分)之间满足函 数关系式=-++(≤≤),值越大,表示接受能力越强. ()在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?在什么范围内,学生的接受能力逐步降 低? ()第分钟时,学生的接受能力是多少? ()第几分钟时,学生的接受能力最强? 分析已知函数为二次函数,本题处理的实质是二次函数的最值问题.
对于函数=-++,你能确定出在[]上的单调性吗?这些单调区间有什么实际意义呢?
能否求出该函数在[]内的最大值呢?这反映到实际中有什么实际意义呢?其中二次函数的
单调性和最值是解决本题的主线. →

→ 解()=-++ =-(-)+. 所以,当≤≤时,学生的接受能力逐步增强; 当≤≤时,学生的接受能力逐步下降. ()当=时,=-×(-)+=. 即第分钟时,学生的接受能力为. ()当=时,取最大值. 所以,在第分钟时,学生的接受能力最强.

剖析函数建模中的常见错误

函数应用问题,就是利用函数思想解决生产生活实践中的实际问题.此类题考查了同学

们多方面的数学能力,要求较高,有一定的难度,出错较多,下面结合实例帮助同学们走出

误区.

例个劳力种亩地,这些地可种蔬菜、棉花和水稻,如果种这些作物每亩所需劳力和预计

的产值如下表:

作物 每亩需劳力 每亩预计产值

蔬菜

万元

棉花

万元

水稻

万元

问怎样安排,才能使每亩地都种上作物,所有劳力都有工作,而且作物预计产值最高? (亩≈667m2)

错解设种植蔬菜亩,棉花亩,水稻亩,

则总产值=++.

∴=++.①

∵ (\\(++=,,()+()+()=,))

解得

(\\(=-,=-.))

代入①得=-,即=(-).②

∵≤≤,∴由②知,当=时,最大,

此时=,=-,没有实际意义,∴此题无解.

剖析本题疏忽对函数=()的定义域的探讨,蔬菜的种植面积既受种植总面积的制约,又

受棉花和水稻种植面积的影响,由(\\(=-≥,=-≥,)) 知≤≤.

这是解应用问题时比较容易犯的错误.

正解设种植蔬菜亩,棉花亩,水稻亩,

则总产值=++.

∴=++.①

∵ (\\(++=,,()+()+()=,))

解得

(\\(=-,=-.))

代入①得=-,即=(-).② ∵(\\(=-≥,=-≥,)) 且≤≤,∴≤≤.

∴由②知,当=时,最大,

∴=,=,即蔬菜种亩,棉花种亩,水稻种亩时,作物预计产值最高.

数学思想方法的应用
.函数思想 例建造一个容积为 8m3,深为 2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米 分别为元和元,求水池的最低总造价为多少元? 分析此类型问题,一般是先根据题意得出函数关系式,然后用定义法判断出函数=+(>) 在(,]上为单调减函数,在[,+∞)上为单调增函数,再结合实际问题中自变量的取值范围 求得相应的函数最值. 解设水池的造价为元,长方形底的一边长为, 由于底面积为 4m2,所以另一边长为 .那么 =×+××=+ 令()=+,下面判断函数()在(,+∞)上的单调性. 任取<<≤,则 Δ=->, Δ=()-()=(+)-(+) =(-)+=(-)(-) =Δ·. ∵<<≤,∴-<. 又∵Δ>,>,∴Δ<,故()在(]上为减函数. 同理,可得()在[,+∞)上为增函数. 由以上讨论,知()在=时有最小值()=+=. ∴=+(+)有最小值+×=. 规律技巧总结应用函数=+(>)的单调性求函数最值时,必须对函数的单调性作出判断

或证明. .数形结合思想 例电信局为配合客户不同需要,设有、两种优惠方案,这两种方案应付电话费(元)与通
话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分).试问:若通话时间为小时,按方案、各付话 费多少元?(注:图中∥).
解由题图知(),(),(), ∥. 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系式分别为()、(), 则()=(\\(,≤≤,,()+,>.)) ()=(\\(,≤≤,,()+,>.)) 通话两个小时后这两种方案的话费分别为元、元.
.(北京高考改编)
如图所示,函数()的图象是折线段,其中,,的坐标分别为(),(),(),则(())=. 解析由(),()可得线段所在直线的方程为()=-+ (≤≤). 同理所在直线的方程为()=- (<≤). 所以()=(\\(-+?≤≤?,-?<≤?,)) 所以()=,()=. 答案
.(本溪模拟)某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从月日起的天内,西红柿 市场售价与上市时间的关系用图()的一条折线表示,西红柿的种植成本与上市时间的关系用 图()的抛物线表示.
()写出图()表示的市场售价与时间的函数关系式=();写出图()表示的种植成本与时间的 函数关系式=();
()认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?

(注:市场售价和种植成本的单位:元 102kg;时间单位:天) 分析本题由函数图象给出基本条件,解题时要抓住图象的特征,抓住关键点的坐标,确 定函数关系式解题. 解()市场售价与时间的函数关系为 ()=(\\(-,≤≤,-,<≤.)) 种植成本与时间的函数关系为 ()=(-)+ (≤≤). ()设时刻纯收益为(),则由题意得 ()=()-() = 错误! 当≤≤时,配方整理得 ()=-(-)+, 所以,当=时,()取得区间[]上的最大值; 当<≤时,配方整理得 ()=-(-)+, ∴=时,()的最大值为. 综上可知:()的最大值为,此时=,即从月日开始的第天时,上市西红柿收益最大.
学习是一件增长知识的工作,在茫茫的学海中,或许我们困苦过,在艰难的竞争中,或许我们疲劳过,在失败的阴影中,或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长,从哑哑学语 的婴儿到无所不能的青年时,这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢?当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时,当我们在漫长的奋斗后成功时,那种无与伦比的感受又有谁 能表达出来呢?因此学习更是一件愉快的事情,只要我们用另一种心态去体会,就会发现有学习的日子真好! 如果你热爱读书,那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉;从书中找到生活的榜样; 从书中找到自己生活的乐趣;并从中不断地发现自己,提升自己,从而超越自己。 明天会更好,相信自己没错的! 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语,就能积累起 相关的重要信息,于是在不经意之间,我们就已经行动起来,并且逐渐把说过的话变成现实。


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