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2018-2019高二数学人教A版选修4-5学案:4.2用数学归纳法证明不等式举例预习案 Word版含解析

2018-2019高二数学人教A版选修4-5学案:4.2用数学归纳法证明不等式举例预习案 Word版含解析

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4.2 用数学归纳法证明不等式举例
预习目标 1.理解数学归纳法证明不等式的基本思路. 2.会用数学归纳法证明贝努利不等式:(1+x)n>1+nx(x>-1,x≠0,n为大于1的自然数). 3.了解n为实数时贝努利不等式也成立.

一、预习要点 贝努利(Bernoulli)不等式 如果x是实数,且x>-1,x≠0,n为大于1的自然数,则有________.

二、预习检测 1.数学归纳法适用于证明的命题的类型是( ) A.已知?结论 B.结论?已知 C.直接证明比较困难 D.与正整数有关

2.对于不等式 n2+n<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法的证明过程如下:

(1)当n=1时, 12+1<1+1, 不等式成立.

(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即 k2+k<k+1,

则当n=k+1时, =(k+1)+1,

+ + + = k2+3k+2<

+3k+ + + = +

∴当n=k+1时,不等式成立.则上述证法( )

A.过程全部正确 B.n=1验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确

3.用数学归纳法证不等式1+12+14+…+2n1-1>16247成立,起始值至少取( )

A.7

B.8

C.9

D.10

4.用数学归纳法证明1+12+13+…+2n1-1<n(n∈N*,n>1)时,第一步证明不等式________成立.

5.设0<a<1,定义a1=1+a,an+1=a1n+a,

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求证:对一切正整数n∈N*,有1<an<1-1 a.

三、思学质疑 把你在本次课程学习中的困惑与建议填写在下面,与同学交流后,由组长整理后并拍照上传平台讨论 区。

一、预习要点
答 案

参考答案
(1+x)n>1+nx

二、预习检测

1.【解析】 数学归纳法证明的是与正整数有关的命题.故应选D.

【答案】 D

2.【解析】 在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.

【答案】 D

3.【解析】

左边等比数列求和Sn=1-1-2121

=2[1-(12)n]>16247,

即1-(12)n>112287,(12)n<1128.

∴(12)n<(12)7.

∴n>7,∴n取8,选B.

【答案】 B

4.【解析】 因为n>1,所以第一步n=2,即证明1+12+13<2成立.

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【答案】 1+12+13<2 5.【证明】 (1)当n=1时,a1=1+a,且0<a<1, ∴a1>1. 又a1=1+a<1-1 a, 因此当n=1时, 不等式1<an<1-1 a成立. (2)假设n=k(k≥1 ,k∈N*)时,命题成立,即1<ak<1-1 a. 当n=k+1时,由递推公知,知 ak+1=a1k+a>(1-a)+a=1, 同时,ak+1=a1k+a<1+a=11--aa2<1-1 a, 因此当n=k+1时,1<ak+1<1-1 a,命题也成立. 综合(1)、(2)可知,对一切正整数n,有1<an<1-1 a.


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