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2015届高三数学一轮复习教案课件 第三章 导数及其应用3.2

2015届高三数学一轮复习教案课件 第三章 导数及其应用3.2


§3.2 导数的应用(一)
第三章 导数及其应用

基础知识·自主学习
要点梳理
1.函数的单调性 在某个区间(a, b)内, 如果 f′(x) > 0, 那么函数 y= f(x)在这个区间内单调 递增;如果 f′(x) < 0,那么函数 y= f(x)在这个区间内单调递减. 2.函数的极值 (1)判断 f(x0)是极值的方法 一般地, 当函数 f(x)在点 x0 处连续时, ①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0 , 右 侧 f′(x)<0 ,那么 f(x0)是极大值;
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

难点正本 疑点清源

1.可导函数的极值表示函 数在一点附近的情况, 是在局部对函数值的比 较;函数的最值是表示 函数在一个区间上的情 况,是对函数在整个区 间上的函数值的比较.

基础知识·自主学习
要点梳理
②如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0 侧 f′(x)>0 ①求 f′(x); ②求方程 f′(x)=0 的根; 的根的 ③检查 f′(x)在方程 f′(x)=0 (2)求可导函数极值的步骤 ,右
难点正本 疑点清源

,那么 f(x0)是极小值.

1. 可导函数的极值表示函 数在一点附近的情况, 是在局部对函数值的比 较;函数的最值是表示 函数在一个区间上的情 况,是对函数在整个区 间上的函数值的比较.

左右两侧导数值的符号.如果左正右负, 那么 f(x)在这个根处取得 极大值 ;如 果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得

极小值


题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

基础知识·自主学习
要点梳理
3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x) 在[a,b]上必有最大值与最小值.
难点正本 疑点清源

2.f′(x)>0 在(a,b)上成立 是 f(x)在(a,b)上单调递 增的充分条件.

(2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增, 3. 对于可导函数 f(x), f′(x0) 则 f(a) 为函数的最小值, f(b) 为函 =0 是函数 f(x)在 x=x 数的最大值;若函数 f(x)在[a,b]上 单调递减,则 f(a) 为函数的最大值,

0

处有极值的必要不充分 条件.

f(b) 为函数的最小值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

(3)设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a, 2.f′(x)>0 在(a,b)上成立 b)内可导,求 f(x)在[a,b]上的最大值和 最小值的步骤如下: ①求 f(x)在(a,b)内的 极值 ; ②将 f(x)的各极值与 f(a),f(b) 进行比 较,其中最大的一个是最大值,最小的 一个是最小值.
是 f(x)在(a,b)上单调递 增的充分条件. 3. 对于可导函数 f(x), f′(x0) =0 是函数 f(x)在 x=x0 处有极值的必要不充分 条件.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
3
[-3,+∞)

解析

②③
C B

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 利用导数研究函数的单调性
x

【例 1】已知函数 f(x)=e -ax-1.

思维启迪

解析

探究提高

(1)求 f(x)的单调增区间; (2)是否存在 a,使 f(x)在(-2,3)上为 减函数, 若存在, 求出 a 的取值范围, 若不存在,说明理由.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 利用导数研究函数的单调性
x

【例 1】已知函数 f(x)=e -ax-1.

思维启迪

解析

探究提高

(1)求 f(x)的单调增区间; (2)是否存在 a,使 f(x)在(-2,3)上为 减函数, 若存在, 求出 a 的取值范围, 若不存在,说明理由.

函数的单调性和函数中的 参数有关,要注意对参数 的讨论.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 利用导数研究函数的单调性
x

【例 1】已知函数 f(x)=e -ax-1.

思维启迪

解析

探究提高

fx (x )的单调增区间; 解 (1)f求 ′( )= ex-a, (1)若 a≤0,则 f′(x)=ex-a≥0,即 f(x)在 R 上递增, (2)是否存在 a,使 f(x )在(-2,3)上为 x x 若 a>0,e -a≥0,∴e ≥a,x≥ln a. 减函数, a 的取值范围, 因此当 a≤若存在, 0 时,f(求出 x)的单调增区间为 R,当 a>0 时,f(x)的单调增区间
是[ln a,+∞). 若不存在,说明理由. (2)∵f′(x)=ex-a≤0 在(-2,3)上恒成立.

∴a≥ex 在 x∈(-2,3)上恒成立. - 又∵-2<x<3,∴e 2<ex<e3,只需 a≥e3. 当 a=e3 时,f′(x)=ex-e3 在 x∈(-2,3)上,f′(x)<0,即 f(x)在(-2,3) 上为减函数,∴a≥e3.
故存在实数 a≥e3,使 f(x)在(-2,3)上为减函数.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 利用导数研究函数的单调性
x

【例 1】已知函数 f(x)=e -ax-1.

思维启迪

解析

探究提高

(1)利用导数求函数 f(x)的单调区 (1)求 f(x)的单调增区间; 间的一般步骤: (2)是否存在 a,使 f(x)在(-2,3)上为 ①确定函数 f(x)的定义域; ②求导数 f′(x); 减函数, 若存在, 求出 a 的取值范围, ③ 在函数 f(x) 的定义域内解不等 式 f′(x)>0 和 f′(x)<0; 若不存在,说明理由. ④ 根据 ③ 的结果确定函数 f(x) 的 单调区间. (2)要注意对含参数的函数的单调 性进行讨论; (3)对已知函数的单调性的问题一 定要掌握导数的条件.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 1 已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f(x)的极值点,求 f(x)的单调区间.
解 (1)对 f(x)求导,得 f′(x)=3x2-2ax-3.
3? 1? 由 f′(x)≥0,得 a≤2?x-x ?. ? ? 3? 1? 记 t(x)=2?x-x ?,当 x≥1 时,t(x)是增函数, ? ? 3 ∴t(x)min=2(1-1)=0.∴a≤0. (2)由题意,得 f′(3)=0,即 27-6a-3=0,

∴a=4.∴f(x)=x3-4x2-3x,f′(x)=3x2-8x-3.
1 令 f′(x)=0,得 x1=-3,x2=3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 1 已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f(x)的极值点,求 f(x)的单调区间.
当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
x f′(x) f(x) 1 (-∞,-3) + 1 -3 0 极大值 1 (-3,3) - 3 0 极小值 (3,+∞) +

? 1? ∴f(x)的单调递增区间为?-∞,-3?,[3,+∞),f(x)的单调递 ? ? ? 1 ? 减区间为?-3,3?. ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】 3x+1. (1)设 a=2,求 f(x)的单调区间; (2) 设 f(x) 在区间 (2,3) 中至少有一个 极值点,求 a 的取值范围.

利用导数研究函数的极值
已知函数 f(x)=x -3ax +
3 2

思维启迪

解析

探究提高

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】 3x+1. (1)设 a=2,求 f(x)的单调区间; (2) 设 f(x) 在区间 (2,3) 中至少有一个 极值点,求 a 的取值范围.

利用导数研究函数的极值
已知函数 f(x)=x -3ax +
3 2

思维启迪

解析

探究提高

(1) 单 调 区 间 即 为 f′(x)>0 , f′(x)<0 的解区间. (2)f′(x) 的零点在 (2,3) 内至少有 一个.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】 3x+1. 设当 a= 2,求 f(x 解 (1) (1) a= 2 时, f) (的单调区间; x)=x3-6x2+3x+1, (2) 设 (x x2 )- 在区间 (2,3) 中至少有一个 f′ (x )=f 3 12x+ 3=3( x-2+ 3)(x-2- 3). 的取值范围. 当 极值点,求 x∈(-∞,2a - 3)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,2- 3)上单调递增;
当 x∈(2- 3, 2+ 3)时, f′(x)<0, f(x)在(2- 3, 2+ 3)上单调递减; 当 x∈(2+ 3,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(2+ 3,+∞)上单调递增. 综上,f(x)的单调增区间是(-∞,2- 3)和(2+ 3,+∞), f(x)的单调减区间是(2- 3,2+ 3).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

利用导数研究函数的极值
已知函数 f(x)=x -3ax +
3 2

思维启迪

解析

探究提高

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】 3x+1. (1) 设 a3 = ,求 f(x )= 的单调区间; (2)f ′(x )= x22 - 6ax+ 3 3[(x-a)2+1-a2]. 设 f(x 在区间 中至少有一个 当 (2) 1- a2≥ 0)时, f′(2,3) (x)≥ 0,f(x)为增函数,故 f(x)无极值点; af的取值范围. 当 极值点,求 1-a2<0 时, ′(x)=0 有两个根 x1=a- a2-1,x2=a+ a2-1.
由题意,知 2<a- a2-1<3, ①

利用导数研究函数的极值
已知函数 f(x)=x -3ax +
3 2

思维启迪

解析

探究提高

或 2<a+ a2-1<3,
5 5 5 5 ①无解,②的解为 <a< ,因此 a 的取值范围为( , ). 4 3 4 3
基础知识 题型分类 思想方法



练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】 3x+1. (1)设 a=2,求 f(x)的单调区间;

利用导数研究函数的极值
已知函数 f(x)=x -3ax +
3 2

思维启迪

解析

探究提高

(1)导函数的零点并不一定就是函 数的极值点.所以在求出导函数

(2) 设 f(x) 在区间 (2,3) 中至少有一个 的零点后一定要注意分析这个零 极值点,求 a 的取值范围.

点是不是函数的极值点. (2)本题的易错点为不对 1-a2 进 行讨论,致使解答不全面.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 ex (2011· 安徽)设 f(x)= ,其中 a 为正实数. 1+ax2 4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围.
2 1 + ax -2ax x 解 对 f(x)求导得 f′(x)=e · . ?1+ax2?2 4 (1)当 a=3时,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0, 3 1 解得 x1=2,x2=2.结合①,可知



x f′(x) f(x)
基础知识

? 1? ?-∞, ? 2? ?

1 2 0 极大值

?1 3? ? , ? ?2 2?

3 2 0 极小值

?3 ? ? ,+∞? ?2 ?







题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 ex (2011· 安徽)设 f(x)= ,其中 a 为正实数. 1+ax2 4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围.
3 1 所以 x1=2是极小值点,x2=2是极大值点.

(2)若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f′(x)在 R 上不变号,结合① 与条件 a>0,知 ax2-2ax+1≥0 在 R 上恒成立,即 Δ=4a2-4a =4a(a-1)≤0,由此并结合 a>0,知 0<a≤1.

所以 a 的取值范围为{a|0<a≤1}.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 利用导数求函数的最值
思维启迪 解析

【例 3】 已知函数 f(x)=x3+ax2 +bx+5, 记 f(x)的导数为 f′(x). (1)若曲线 f(x)在点(1, f(1))处的切 2 线斜率为 3,且 x= 时 y=f(x)有 3 极值,求函数 f(x)的解析式; (2)在(1)的条件下,求函数 f(x)在 [-4,1]上的最大值和最小值.

探究提高

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 利用导数求函数的最值
思维启迪 解析

【例 3】 已知函数 f(x)=x3+ax2 +bx+5, 记 f(x)的导数为 f′(x). (1)若曲线 f(x)在点(1, f(1))处的切 2 线斜率为 3,且 x= 时 y=f(x)有 3 极值,求函数 f(x)的解析式; (2)在(1)的条件下,求函数 f(x)在 [-4,1]上的最大值和最小值.

探究提高

(1)构建方程

?2? f′(1)=3,f′?3?=0, ? ?

求得 a,b,进而确定函数 f(x)的解 析式. (2)列出 f′(x)与 f(x)的变化表,比 较端点值和极值的大小.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 利用导数求函数的最值
思维启迪 解析

【例 3】 已知函数 f(x)=x3+ax2

探究提高

+bx+5, 记 f(x)2的导数为 f′(x). 解 (1)f′(x)=3x +2ax+b. (1)若曲线 f(x)在点(1?, f(1))处的切 2? ? ?=0, 2 依题意 f′(1)=3,f′ ? y=f(x)有 线斜率为 3,且 x= ?3 时 3 3+2a+b=3, ? ? ? ?a=2, 极值,求函数 f ( x ) 的解析式; 得? ?2?2 4 解之得? ? ? ? + a+b=0, 3· ?b=-4. ? 3 3 ? ?(1)的条件下,求函数 f(x)在 (2)? 在 所以 f(x)=x3+2x2-4x+5. [-4,1]上的最大值和最小值. (2)由(1)知,f′(x)=3x2+4x-4=(x+2)(3x-2).
2 令 f′(x)=0,得 x1=-2,x2= . 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 利用导数求函数的最值
思维启迪 解析

【例 3】 已知函数 f(x)=x3+ax2

探究提高

+bx+5, 记 f(x)的导数为 f′(x). 当 x 变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表: (1)若曲线 f(x)在点(1, f(1))处的切 2 2 2 -3 4,且 (-x 4= ,- 2) 2 x 线斜率为 时 y=- f(x )有 (-2,3) 3 3 f′(x) + - 0 0 极值,求函数 f(x)的解析式;
极大 (2) 在 (1) 的条件下,求函数 f(x)在 f(x) -11 值 13 [-4,1]上的最大值和最小值. 极小 95 值 27

2 ( ,1) 3 +

1

4

∴f(x)在[-4,1]上的最大值为 13,最小值为-11.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 利用导数求函数的最值
思维启迪 解析

【例 3】 已知函数 f(x)=x3+ax2 +bx+5, 记 f(x)的导数为 f′(x). (1)若曲线 f(x)在点(1, f(1))处的切 2 线斜率为 3,且 x= 时 y=f(x)有 3 极值,求函数 f(x)的解析式; (2)在(1)的条件下,求函数 f(x)在 [-4,1]上的最大值和最小值.

探究提高

在解决类似的问题时,首先要注意 区分函数最值与极值的区别.求解 函数的最值时,要先求函数 y=f(x) 在[a,b]内所有使 f′(x)=0 的点, 再计算函数 y=f(x)在区间内所有使 f′(x) = 0 的点和区间端点处的函 数值,最后比较即得.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 (2012· 重庆)已知



(1)因为 f(x)=ax3+bx+c, 故 f′(x)

=3ax2+b. 函数 f(x)=ax3+bx+c 在点 x 由于 f(x)在点 x=2 处取得极值 c-16, ? ?f′?2?=0, =2 处取得极值 c-16. 故有? ? ?f?2?=c-16, (1)求 a,b 的值; ? ?12a+b=0, ? (2)若 f(x)有极大值 28, 求 f(x) 即? ?8a+2b+c=c-16, ? ? ?12a+b=0, ?a=1, 在[-3,3]上的最小值. 化简得? 解得? ? ? ?4a+b=-8, ?b=-12. (2)由(1)知 f(x)=x3-12x+c, f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).
令 f′(x)=0,得 x1=-2,x2=2. 当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0, 故 f(x)在(-∞,-2)上为增函数;
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 (2012· 重庆)已知 当 x∈(-2,2)时,f′(x)<0, 故 f(x)在(-2,2)上为减函数; 3 函数 f(x)=ax +bx+c 在点 x 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0, =2 处取得极值 c-16. 故 f(x)在(2,+∞)上为增函数. (1)求 a,b 的值; 由此可知 f(x)在 x=-2 处取得极大值 (2)若 f(x)有极大值 28, 求 f(x) f(-2)=16+c, 在[-3,3]上的最小值.
f(x)在 x=2 处取得极小值 f(2)=c-16.
由题设条件知 16+c=28,解得 c=12. 此时 f(-3)=9+c=21, f(3)=-9+c=3,
f(2)=-16+c=-4,

因此 f(x)在[ -3,3] 上的最小值为 f(2)=-4.
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题型分类·深度剖析
答题模板 4.利用导数求函数最值问题
典例:(14 分)已知函数 f(x)=ln x-ax (a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值. 规 范 解 答 审 题 视 角

温 馨 提 醒

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题型分类·深度剖析
答题模板 4.利用导数求函数最值问题
典例:(14 分)已知函数 f(x)=ln x-ax (a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值. 规 范 解 答 审 题 视 角

温 馨 提 醒

(1)已知函数解析式求单调区间, 实质上是求 f′(x)>0, f′(x)<0 的解区间,并注意定义域.(2)先研究 f(x)在[1,2]上的单调性, 再确定最值是端点值还是极值.(3)由于解析式中含有参数 a, 要对参数 a 进行分类讨论.

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答题模板 4.利用导数求函数最值问题
典例:(14 分)已知函数 f(x)=ln x-ax (a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值. 规 范 解 答 温 馨 提 醒 审 题 视 角 1 1分 解 (1)f′(x)=x-a (x>0), 1 ①当 a≤0 时,f′(x)= -a>0,即函数 f(x)的单调增区间为(0,+∞). 3分 x 1 1 ②当 a>0 时,令 f′(x)=x -a=0,可得 x=a, 1-ax 1 当 0<x<a时,f′(x)= x >0; 1-ax 1 当 x>a时,f′(x)= x <0, ? ?1 ? 1? 故函数 f(x)的单调递增区间为?0,a?,单调递减区间为?a,+∞?. 5分 ? ? ? ?
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答题模板 4.利用导数求函数最值问题
典例:(14 分)已知函数 f(x)=ln x-ax (a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值. 规 范 解 答 温 馨 提 醒 审 题 视 角 1 (2)①当a≤1,即 a≥1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以 f(x)
9分 的最小值是 f(2)=ln 2-2a. 1 1 ②当 ≥2,即 0<a≤ 时,函数 f(x)在区间[1,2] 上是增函数,所以 f(x)的最 a 2

小值是 f(1)=-a.

10分

? ?1 ? 1? 1 1 ? ? ? ③当 1< <2,即 <a<1 时,函数 f(x)在 1,a 上是增函数,在 a,2?上是减 a 2 ? ? ? ?

函数.又 f(2)-f(1)=ln 2-a,
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答题模板 4.利用导数求函数最值问题
典例:(14 分)已知函数 f(x)=ln x-ax (a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值. 规 范 解 答 审 题 视 角

温 馨 提 醒

1 所以当 <a<ln 2 时,最小值是 f(1)=-a; 2
当 ln 2≤a<1 时,最小值为 f(2)=ln 2-2a.
综上可知,当 0<a<ln 2 时,函数 f(x)的最小值是-a;
当 a≥ln 2 时,函数 f(x)的最小值是 ln 2-2a.
14分 12分

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思想方法

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答题模板 4.利用导数求函数最值问题
典例:(14 分)已知函数 f(x)=ln x-ax (a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值. 规 范 解 答 审 题 视 角

温 馨 提 醒

用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题:

第一步:求函数 f(x)的导数 f′(x); 第二步:求 f(x)在给定区间上的单调性和极值; 第三步:求 f(x)在给定区间上的端点值;
第四步:将 f(x)的各极值与 f(x)的端点值进行比较,确定 f(x)的最 大值与最小值; 第五步:反思回顾:查看关键点,易错点和解题规范.
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答题模板 4.利用导数求函数最值问题
典例:(14 分)已知函数 f(x)=ln x-ax (a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值. 规 范 解 答 审 题 视 角

温 馨 提 醒

(1)本题考查求函数的单调区间,求函数在给定区间[1,2]上的最值,属常 规题型. (2)本题的难点是分类讨论. 考生在分类时易出现不全面, 不准确的情况. (3)思维不流畅,答题不规范,是解答中的突出问题.

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练出高分

思想方法·感悟提高

1.注意单调函数的充要条件,尤其对于已知单调性求

方 法 与 技 巧

参数值(范围)时,隐含恒成立思想.
2.求极值、最值时,要求步骤规范、表格齐全;含 参数时,要讨论参数的大小.
3.在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值 点,那么只要根据实际意义判定是最大值还是最 小值即可,不必再与端点的函数值比较.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯, 可使问题直观且有条理,减少失分的可能.

失 误 与 防 范

2.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值 点,要通过认真比较才能下结论.
3.解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题, 处理好 f′(x)=0 时的情况;区分极值点和导数为 0 的点.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

1.若函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示, 则 y=f(x)的图象可能为 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

1.若函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示, 则 y=f(x)的图象可能为 ( C )

解 析
根据 f′(x)的符号,f(x)图象应该是先下降后上升,最后 下降,排除 A,D;从适合 f′(x)=0 的点可以排除 B.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9

2. 设 a∈R, 若函数 y=ex+ax, x∈R 有大于零的极值点, 则( 1 1 A.a<-1 B.a>-1 C.a>- D.a<- e e

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9

2. 设 a∈R, 若函数 y=ex+ax, x∈R 有大于零的极值点, 则( A ) 1 1 A.a<-1 B.a>-1 C.a>- D.a<- e e

解 析
∵y=ex+ax,∴y′=ex+a.

∵函数 y=ex+ax 有大于零的极值点,
则方程 y′=ex+a=0 有大于零的解, ∵x>0 时,-ex<-1,∴a=-ex<-1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

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1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6

7

8

9

3.函数 f(x)=x3-3x2+2 在区间[-1,1]上的最大值是 A.-2 B. 0 C.2 D.4

(

)

解 析

基础知识

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思想方法

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1
2 3

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4

专项基础训练
5 6

7

8

9

3.函数 f(x)=x3-3x2+2 在区间[-1,1]上的最大值是 A.-2 B. 0 C.2 D.4

( C )

解 析
∵f′(x)=3x2-6x,令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2. ∴f(x)在[ -1,0)上是增函数,f(x)在(0,1] 上是减函数. ∴f(x)max=f(x)极大值=f(0)=2.

基础知识

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思想方法

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练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

1 3 1 2 4.若函数 f(x)= x - ax +(a-1)x+1 在区间(1,4)内为减函数,在区 3 2 间(6,+∞)内为增函数,则实数 a 的取值范围是 A.a≤2 B.5≤a≤7 C.4≤a≤6 ( )

D.a≤5 或 a≥7

解 析

基础知识

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1

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2 3 4

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5

6

7

8

9

1 3 1 2 4.若函数 f(x)= x - ax +(a-1)x+1 在区间(1,4)内为减函数,在区 3 2 间(6,+∞)内为增函数,则实数 a 的取值范围是 A.a≤2 B.5≤a≤7 C.4≤a≤6 ( B )

D.a≤5 或 a≥7

解 析
1 3 1 2 因为 f(x)= x - ax +(a-1)x+1, 3 2 所以 f′(x)=x2-ax+a-1,
由题意知当 1<x<4 时,f′(x)≤0 恒成立, 即 x2-ax+a-1≤0 在(1,4)上恒成立, ∴a(x-1)≥x2-1,a≥x+1(1<x<4),

所以 a≥5.同理 a≤7.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

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2 3 4

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5

6

7

8

9

5.已知 f(x)=2x3-6x2+m (m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那 么此函数在[-2,2]上的最小值为________.

解 析

基础知识

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思想方法

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9

5.已知 f(x)=2x3-6x2+m (m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那

-37 . 么此函数在[-2,2]上的最小值为________ 解 析
∵f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),

∴f(x)在(-2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数,
∴当 x=0 时,f(x)=m 最大.∴m=3,从而 f(-2)=-37, f(2)=-5.∴最小值为-37.

基础知识

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9

6.已知函数 f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m 是偶函数,函数 g(x)= -x3+2x2+mx+5 在(-∞,+∞)内单调递减,则实数 m=____.

解 析

基础知识

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思想方法

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2 3 4

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6

7

8

9

6.已知函数 f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m 是偶函数,函数 g(x)=

-2 -x3+2x2+mx+5 在(-∞,+∞)内单调递减,则实数 m=____.

解 析
若 f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m 是偶函数,

则 m2-4=0,m=± 2. 若 g′(x)=-3x2+4x+m≤0 恒成立,
4 则 Δ=16+4×3m≤0,解得 m≤-3,故 m=-2.

基础知识

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9

7.函数 f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是______________.

解 析

基础知识

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7.函数 f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值,则 a

a>2或a<-1 . 的取值范围是______________ 解 析
∵f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1],
∴f′(x)=3x2+6ax+3(a+2).
令 3x2+6ax+3(a+2)=0,即 x2+2ax+a+2=0. ∵函数 f(x)有极大值和极小值,

∴方程 x2+2ax+a+2=0 有两个不相等的实根.

即 Δ=4a2-4a-8>0,∴a>2 或 a<-1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

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2 3 4
2

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6

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9

1 8.(10 分)已知函数 f(x)=ax +bln x 在 x=1 处有极值 . 2 (1)求 a,b 的值;(2)求函数 y=f(x)的单调区间.

解 析

基础知识

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1 8.(10 分)已知函数 f(x)=ax +bln x 在 x=1 处有极值 . 2 (1)求 a,b 的值;(2)求函数 y=f(x)的单调区间.

解 析
解 b 1 (1)f′(x)=2ax+x.又 f(x)在 x=1 处有极值 . 2
1 ? ?a= , 1 2 即? 解之得 a=2,b=-1. ? ?2a+b=0.

1 ? ?f?1?= , 2 得? ? ?f′?1?=0,

1 2 (2)由(1)可知 f(x)=2x -ln x,其定义域是(0,+∞),
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

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2 3 4
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5

6

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9

1 8.(10 分)已知函数 f(x)=ax +bln x 在 x=1 处有极值 . 2 (1)求 a,b 的值;(2)求函数 y=f(x)的单调区间.

解 析
1 ?x+1??x-1? 且 f′(x)=x-x= . x

由 f′(x)<0,得 0<x<1;由 f′(x)>0,得 x>1.

所以函数 y=f(x)的单调减区间是(0,1), 单调增区间是(1,+∞).

基础知识

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思想方法

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1
2 3

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4

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1 9. (12 分 )已知函数 f(x)= ln|x| (x≠0),函数 g(x)= + af′(x) f′?x? (x≠0). (1)求函数 y=g(x)的表达式;

解 析

基础知识

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练出高分

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6

7

8

9

1 9. (12 分 )已知函数 f(x)= ln|x| (x≠0),函数 g(x)= + af′(x) f′?x? (x≠0). (1)求函数 y=g(x)的表达式;

解 析
解 因为 f(x)=ln|x|, 所以当 x>0 时,f(x)=ln x,当 x<0 时,f(x)=ln(-x). 1 所以当 x>0 时,f′(x)=x, 1 1 当 x<0 时,f′(x)= · (-1)= . x -x a 所以当 x≠0 时,函数 y=g(x)=x+x .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1
2 3

A组
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专项基础训练
5 6

7

8

9

1 9. (12 分 )已知函数 f(x)= ln|x| (x≠0),函数 g(x)= + af′(x) f′?x? (x≠0). (2)若 a>0,函数 y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是 2,求 a 的值.

解 析
解 a 由(1),知当 x>0 时,g(x)=x+ x.

所以当 a>0,x>0 时,g(x)≥2 a,当且仅当 x= a时取等号. 所以函数 y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是 2 a. 所以 2 a=2.解得 a=1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

1.(2012· 重庆)设函数 f(x)在 R 上可导, 其导函数为 f′(x),且函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值,则函数 y=xf′(x)的图象可能是 ( )

解 析

基础知识

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1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

1.(2012· 重庆)设函数 f(x)在 R 上可

解 析

导, 其导函数为 f′(x), 且函数 f(x) ∵f(x)在 x=-2 处取得极小值,

在 x=-2 处取得极小值,则函数 ∴当 x<-2 时,f(x)单调递减, y=xf′(x)的图象可能是 ( C ) 即 f′(x)<0; 当 x>-2 时,f(x)单调递增,即 f′(x)>0.
∴当 x<-2 时,y=xf′(x)>0;

当 x=-2 时,y=xf′(x)=0; 当-2<x<0 时,y=xf′(x)<0;

当 x=0 时,y=xf′(x)=0;
当 x>0 时,y=xf′(x)>0. 结合选项中图象知选 C.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

2.函数 y=xe-x,x∈[0,4]的最小值为 1 4 A.0 B. C. 4 e e

( 2 D. 2 e

)

解 析

基础知识

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思想方法

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1

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专项能力提升
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6

7

2.函数 y=xe-x,x∈[0,4]的最小值为 1 4 A.0 B. C. 4 e e

( A ) 2 D. 2 e

解 析
y′=-e-x(x-1), y′与 y 随 x 变化情况如下表:
x y′ y 0 0 (0,1) + 1 0 1 取极大值 e (1,4) - 4 e4 4

当 x=0 时,函数 y=xe-x 取到最小值 0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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B组
2 3

专项能力提升
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5

6

7

3.f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x<0 时,f(x)+x· f′(x)<0,且 f(-4) =0,则不等式 xf(x)>0 的解集为 A.(-4,0)∪(4,+∞) C.(-∞,-4)∪(4,+∞) B.(-4,0)∪(0,4) D.(-∞,-4)∪(0,4) ( )

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4 5 6
7

3.f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x<0 时,f(x)+x· f′(x)<0,且 f(-4) =0,则不等式 xf(x)>0 的解集为 A.(-4,0)∪(4,+∞) C.(-∞,-4)∪(4,+∞) B.(-4,0)∪(0,4) D.(-∞,-4)∪(0,4) ( D )

解 析
令 g(x)=x· f(x),则 g(x)为奇函数且当 x<0 时, g′(x)=f(x)+x· f′(x)<0,

∴g(x)的图象的变化趋势如图所示:

所以 xf(x)>0 的解集为(-∞,-4)∪(0,4).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

4.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c (x∈[-2,2])对应的曲线 C 过坐标 原点, 且在 x=± 1 处切线的斜率均为-1, 则 f(x)的最大值和最小 值之和等于________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

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B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

4.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c (x∈[-2,2])对应的曲线 C 过坐标 原点, 且在 x=± 1 处切线的斜率均为-1, 则 f(x)的最大值和最小

0 值之和等于________ . 解 析
由曲线 f(x)=x3+ax2+bx+c (x∈[-2,2])过坐标原点可知 c=0. ∵f′(x)=3x2+2ax+b,由已知得
2 ? ?f′?-1?=3×?-1? +2a×?-1?+b=-1, ? 2 ? f ′ ? 1 ? = 3 × 1 +2a×1+b=-1, ?

解得 a=0,b=-4, ∴f(x)=x3-4x,f(x)在 x∈[ -2,2] 上有最大值,最小值,且函 数 f(x)=x3-4x 为奇函数,∴函数 f(x)=x3-4x 的最大值和最 小值之和为 0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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5.设函数

? 1? f(x)=p?x-x?-2ln ? ?

x(p 是实数),若函数 f(x)在其定义域

内单调递增,则实数 p 的取值范围为_________.

解 析

基础知识

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5.设函数

? 1? f(x)=p?x-x?-2ln ? ?

x(p 是实数),若函数 f(x)在其定义域

[1,+∞) . 内单调递增,则实数 p 的取值范围为_________
px2-2x+p 易知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),因为 f′(x)= ,要 x2 使 f(x)为单调增函数,须 f′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,即 px2 2x 2 -2x+p≥0 在(0,+∞)上恒成立,即 p≥ 2 = 在(0,+∞) 1 x +1 x+ x 2 上恒成立,又 ≤1, 1 x+ x 所以当 p≥1 时,f(x)在(0,+∞)上为单调增函数.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

解 析

练出高分
1

B组
2 3

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4
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6. 已知函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值, 则 a 的取值范围 是________.

解 析

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6. 已知函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值, 则 a 的取值范围

(0,1) . 是________

解 析
f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),
显然 a>0,f′(x)=3(x+ a)(x- a), 由已知条件 0< a<1,解得 0<a<1.

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2 3

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7.(13 分)(2012· 江西)已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调 递减且满足 f(0)=1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围; (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小值.

解 析

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7.(13 分)(2012· 江西)已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调 递减且满足 f(0)=1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围; (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小值.

解 析
解 (1)由 f(0)=1,f(1)=0,得 c=1,a+b=-1,则 f(x)= [ax2-(a+1)x+1]ex,f′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex, 依题意需对任意 x∈(0,1),有 f′(x)<0. 当 a>0 时,因为二次函数 y=ax2+(a-1)x-a 的图象开口向上, 而 f′(0)=-a<0,

所以需 f′(1)=(a-1)e<0,即 0<a<1. 当 a=1 时, 对任意 x∈(0,1)有 f′(x)=(x2-1)ex<0, f(x)符合条件;
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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5

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7

7.(13 分)(2012· 江西)已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调 递减且满足 f(0)=1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围; (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小值.

解 析 当 a=0 时,对任意 x∈(0,1),f′(x)=-xex<0,f(x)符合条件;
当 a<0 时,因为 f′(0)=-a>0,f(x)不符合条件. 故 a 的取值范围为 0≤a≤1. (2)因为 g(x)=(-2ax+1+a)ex,所以 g′(x)=(-2ax+1-a)ex. (i)当 a=0 时,g′(x)=ex>0,g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1, 在 x=1 处取得最大值 g(1)=e. (ii)当 a=1 时,对于任意 x∈(0,1)有 g′(x)=-2xex<0,g(x)在 x =0 处取得最大值 g(0)=2,在 x=1 处取得最小值 g(1)=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

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5

6

7

7.(13 分)(2012· 江西)已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调 递减且满足 f(0)=1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围; (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小值.
1-a (iii)当 0<a<1 时,由 g′(x)=0 得 x= >0. 2a 1-a 1 ①若 2a ≥1,即 0<a≤3时,g(x)在[0,1] 上单调递增,g(x)在 x= 0 处取得最小值 g(0)=1+a, 在 x=1 处取得最大值 g(1)=(1-a)e.
?1-a? 1-a 1-a 1 ? ②若 2a <1,即3<a<1 时,g(x)在 x= 2a 处取得最大值 g? ? 2a ? ? ?

解 析

=2ae

1? a 2a

,在 x=0 或 x=1 处取得最小值.
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1

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2 3

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4
5

6

7

7.(13 分)(2012· 江西)已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调 递减且满足 f(0)=1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围; (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小值.

解 析
而 g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e, e-1 1 则当3<a≤ 时,g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1+a; e+1 e-1 当 <a<1 时,g(x)在 x=1 处取得最小值 g(1)=(1-a)e. e+1

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