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黑龙江省哈三中2014届高三第三次高考模拟考试 数学文 Word版含答案

黑龙江省哈三中2014届高三第三次高考模拟考试 数学文 Word版含答案

黑龙江省哈尔滨市第三中学 2013-2014 年高三下学期第三次高考模拟 考试数学试卷(文史类)
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂,非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工 整,字迹清楚; (3)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、 试题卷上答题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.

第I卷

(选择题,共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.) 1.
2 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x x ? 2x ? 3 ? 0} , B ? {x 2 ? x ? 4} ,那么集合 (CU A) ? B ?

(A) {x ? 1 ? x ? 4} (C) {x 2 ? x ? 3} 2. 复数 1 ? i ? i ? ?i 等于
2 10

(B) {x 2 ? x ? 3} (D) {x ? 1 ? x ? 4}

(A) i 3. 已知 a ? 0.2
0.3

(B) ? i

(C) 2i

(D) ? 2i

, b ? log0.2 3 , c ? log0.2 4 ,则 (B) a ? c ? b (C) b ? c ? a (D) c ? b ? a

(A) a ? b ? c 4.

已知直线 m, n 和平面 ? ,则 m // n 的一个必要条件是 (A) m // ? , n // ? (C) m // ? , n ? ? (B) m ? ? , n ? ? (D) m, n 与 ? 成等角

5.

已知 x 与 y 之间的一组数据:

x
y

0

1 3

2 5.5

3 7

m

? =2.1 x +0.85,则 m 的值为 已求得关于 y 与 x 的线性回归方程为 y
(A) 1 6. (B) 0.85 (C) 0 .7 (D) 0 .5
2 2 在数列 ?a n ?中,已知 a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 n ? 1 ,则 a12 ? a2 等于 ? ? ? an

(A) 2n ? 1

?

?

2

(B)

?2

n

? 1? 3

2

(C) 4 n ? 1

(D)

4n ?1 3

-1-

7.

执行如图所示的程序框图,若输出 S ? 15 ,则框图中①处 可以填入 (A) n ? 4 (C) n ? 16 (B) n ? 8 (D) n ? 16

开始

S ? 0, n ? 1

S ?S?n
n ? 2n


① 是 输出 S
结束

8.

? y?x ? 已知 z ? 2 x ? y ,其中实数 x, y 满足 ? x ? y ? 2 ,且 z 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值是 ? x?a ?
(A)

2 11

(B)

1 4

(C)4

(D)

11 2

9.

x2 y2 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,过 F 的直线 l 交双曲线的渐近线于 A, B 两点, a b
且与其中一条渐近线垂直,若 AF ? 4 FB ,则该双曲线的离心率是 (A) 5 (B) 2 5 (C)

10 5

(D)

2 10 5

10. 已知函数 f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
4

) ,则下列结论正确的是

(A)若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则 x1 ? x2 ? k? (k ? Z ) (B)函数 f ? x ? 的图象与 g ( x ) ? 3 cos( 2 x ? (C)函数 f ? x ? 的图象关于 (?

?
4

) 的图象相同

,0) 对称 8 1 3 (D)函数 f ? x ? 在区间 [? ? , ? ] 上是增函数 8 8
11. 已知一个正四面体的俯视图如图所示,其中四边形 ABCD 是边长为 3 2 的正方形,则该正四面体的 内切球的表面积为 (A) 6? (C) 12? (B) 54? (D) 48?
-2-

?

C

B

D

A

12. 定义在 (1,?? ) 上的函数 f ( x) 满足下列两个条件: (1) 对任意的 x ? (1,??) 恒有 f (2 x) ? 2 f ( x) 成立; (2) 当 x ? ?1,2? 时, f ( x) ? 2 ? x .记函数 g ( x) ? f ( x) ? k ( x ? 1) ,若函数 g ( x) 恰有两个零点,则实数 k 的 取值范围是 (A) ?1,2 ?

?4 ? (B) ? ,2? ?3 ?

?4 ? (C) ? ,2 ? ?3 ?

?4 ? (D) ? ,2 ? ?3 ?

2014 年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试 数学试卷(文史类) 第Ⅱ卷
(非选择题, 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上. ) 13. 从 1,2,3,4,5,6 这六个数中,随机抽取 2 个不同的数,则这 2 个数的和为偶数的概率是
. .

1 1 14. 若等边 ?ABC 的边长为 2 ,平面内一点 M 满足 CM ? CB ? CA ,则 MA ? MB ? 3 2
15. 已知 cos(? ?

?
4

)?

10 ? ? , ? ? (0, ) ,则 sin(2? ? ) ? 10 2 3

.

16. 若在由正整数构成的无穷数列 {an } 中,对任意的正整数 n ,都有 an ? an?1 ,且对任意的正整数 k ,该 数列中恰有 2k ? 1 个 k ,则 a2014 =
.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,满足

2a sin A ? (2b ? 3c) sin B ? (2c ? 3b) sin C .
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 , b ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取 60 名同学将其成绩 ( 百分制,均为整数 ) 分成 [40,50) , [50,60) , [60,70) , [70,80) , [80,90) , [90,100] 六组后,得到部分频率分布直方图(如图) ,观察图 形中的信息,回答下列问题. (Ⅰ)求分数在 ?70,80? 内的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ)从频率分布直方图中,估计本次考试成绩的中位数; (Ⅲ)若从第 1 组和第 6 组两组学生中,随机抽取 2 人,求所抽取 2 人成绩之差的绝对值大于 10 的概
-3-

率.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, B1 B ? B1 A ? AB ? BC ? 2 , ?B1 BC ? 90? , D 为 AC 的中点,

AB ? B1 D .
(Ⅰ)求证:平面 ABB1 A1 ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求三棱锥 C ? BB1 D 的体积.

A1

B1

C1

A

D
B
20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :
C

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,上顶点为 B .Q 为抛物线 y 2 ? 12x a2 b2

的焦点,且 F1 B ? QB ? 0 , 2F1 F2 ? QF1 ? 0. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过定点 P(0,2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点( M 在 P, N 之间) ,设直线 l 的斜率为 k ( k ? 0 ) ,在 x 轴上是否存在点 A(m,0) ,使得以 AM , AN 为邻边的平行四边形为菱 形?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

y
P M B

N

F1



O

F2



x

-4-

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 1 ( a ? 0 ). (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值; (Ⅱ)若 a ?

1 1 ,且关于 x 的方程 f ( x) ? ? x ? b 在 ?1,4? 上恰有两个不等的实根, 6 2 求实数 b 的取值范围;

(Ⅲ)设各项为正数的数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 , an ?1 ? ln an ? an ? 2 ( n ? N ? ) , 求证: a n ? 2 n ? 1 . 请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的一条切线,切点为 B ,

C G F
O

ADE , CFD , CGE 都是⊙ O 的割线, AC ? AB .
(Ⅰ)证明: AD ? AE ? AC ;
2

A D

(Ⅱ)证明: FG // AC .

E B
23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程

? 3 ? ? x ? ?3 ? 2 t 是 ? ? 4 cos ? ,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数). ? y? 1t ? 2 ?
(Ⅰ)过极点作直线 l 的垂线,垂足为点 P ,求点 P 的极坐标; (Ⅱ)若点 M , N 分别为曲线 C 和直线 l 上的动点,求 MN 的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 2 , g ( x) ? ? x ? 3 ? m . (Ⅰ)若关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 的解集为 {x ? 5 ? x ? ?1 } ,求实数 m 的值; (Ⅱ)若 f ( x) ? g ( x) 对于任意的 x ? R 恒成立,求实数 m 的取值范围.

2014 年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试 数学答案(文史类)
-5-

选择题: 1B 2A 3A 4D 5D 6D 7B 8B 9D 10D 11A 12D 填空题:13. 解答题: 17. 解: (Ⅰ)由已知及正弦定理可得 2a 2 ? (2b ? 3c)b ? (2c ? 3b)c , 整理得 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc , 所以 cos A ? ………………………… 2 分 ………………………… 4 分

2 5

14. ?

8 9

15.

4?3 3 10

16.45

3 . 2

又 A ? (0, ? ) ,故 A ?

?
6



………………………… 5 分

(Ⅱ)由正弦定理可知 所以 sin B ? 又 B ? (0, 若B?

a b ? ,又 a ? 2 , b ? 2 3 , A ? , ? sin A sin B 6
………………………… 6 分 ………………………… 8 分

3 . 2

5? 2? ? . ) ,故 B ? 或 6 3 3

?

3 2 2? ? 若B? ,则 C ? ,于是 S?ABC 3 6

,则 C ?

?

,于是 S ?ABC ?

1 ………………………… 10 分 ab ? 2 3 ; 2 1 ? ab sin C ? 3 . ………………………… 12 分 2

18.解: (Ⅰ) 0.3 ………………………………2 分 (Ⅱ)

220 ………………………………6 分 3

(Ⅲ)第 1 组: 60 ? 0.1 ? 6 人(设为 1,2,3,4,5,6) 第 6 组: 60 ? 0.1 ? 3 人(设为 A,B,C) 共有 36 个基本事件,满足条件的有 18 个,所以概率为 19.解: (Ⅰ)取 AB 中点为 O ,连接 OD , OB1 . 因为 B1 B ? B1 A ,所以 OB1 ? AB . 又 AB ? B1 D , OB1 ? B1 D ? B1 ,

1 …………12 分 2

A1
所以 AB ? 平面 B1OD , 因为 OD ? 平面 B1OD ,所以 AB ? OD .…3 分 由已知, BC ? BB1 ,又 OD // BC , 所以 OD ? BB1 ,因为 AB ? BB1 ? B ,
-6-

B1

C1

A
O

D
C

B

所以 OD ? 平面 ABB1 A1 . 又 OD ? 平面 ABC ,所以平面 ABC ? 平面 ABB1 A1 . (Ⅱ)三棱锥 C ? BB1 D 的体积=三棱锥 B1 ? BCD 的体积 由(Ⅰ)知,平面 ABC ? 平面 ABB1 A1 ,平面 ABC ? 平面 ABB 1A 1 ? AB , ………………6 分

OB1 ? AB ,

OB1 ? 平面 ABB1 A1

所以 OB1 ? 平面ABC ,即 OB1 ? 平面BCD ,

B1O 即点 B1 到 平面BCD 的距离,
S ?BCD ? 1 S ?ABC ? 1 2

B1O ? 3

…………………………9 分 ………………………… 11 分

所以 VC ? BB1D ? VB1 ? BCD ?

1 3 ? 1? 3 ? 3 3

………………………… 12 分

20. 解: (Ⅰ)由已知 Q(3,0) , F1 B ? QB , | QF1 |? 4c ? 3 ? c ,所以 c ? 1 . ……… 1 分 在 Rt?F1 BQ 中, F2 为线段 F1Q 的中点, 故 | BF2 |? 2c ? 2 ,所以 a ? 2 .……… 2 分 于是椭圆 C 的标准方程为

y
B

x2 y2 ? ? 1 .…4 分 4 3

(Ⅱ)设 l : y ? kx ? 2 ( k ? 0 ) ,

F1



O

F2



Q

x

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,取 MN 的中点为 E ( x 0 , y 0 ) .
假设存在点 A(m,0) 使得以 AM , AN 为邻边的平行四边形为菱形,则 AE ? MN .

? y ? kx ? 2 ? 2 ? (4k 2 ? 3) x 2 ? 16kx ? 4 ? 0 , ?x y2 ? ? 1 ? 3 ?4

1 1 ………………………… 6 分 ? ? 0 ? k 2 ? ,又 k ? 0 ,所以 k ? . 4 2 16k 6 8k 因为 x1 ? x2 ? ? 2 ,所以 x0 ? ? 2 , y0 ? kx0 ? 2 ? 2 . ……… 8 分 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 6 ?0 2 1 1 ?? , 因为 AE ? MN ,所以 k AE ? ? ,即 4k ? 3 ? 8k k k ?m 2 4k ? 3

-7-

整理得 m ? ?

2k ?? 4k 2 ? 3

2 3 4k ? k



………………………… 10 分

因为 k ?

3 1 3 3 1 ,0) . ……… 12 分 时, 4k ? ? 4 3 , ? (0, ] ,所以 m ? [ ? 3 6 12 k 2 4k ? k

21.解: (Ⅰ)函数的定义域为 ?0,??? ,

f ?( x) ? ?

ax ? 1 ( x ? 0) , x

? 1? ?1 ? ? ? ?, f ?( x) ? 0, f ( x)单调递减 ? 0, ?, f ?( x) ? 0, f ( x)单调递增, ? , ? a? ?a ?
1 1 f ( ) ? ? ln a 当 ……………………………………4 分 a 时, f ( x) 取最大值 a 1 1 x (Ⅱ) a ? ,由 f ( x) ? ? x ? b 得 ln x ? ? 1 ? b 在 ?1,4? 上有两个不同的实根, 2 6 3 x 设 g ( x) ? ln x ? ? 1, x ? ?1,4? 3 3? x g ?( x) ? , x ?? 1,3? 时, g ?( x) ? 0 , x ? ?3,4? 时, g ?( x) ? 0 3x x?

g ( x) max ? g (3) ? ln 3 ,
g (1) ? 2 1 , g (4) ? 2 ln 2 ? 3 3 2 1 g (1) ? g (4) ? ? 2 ln 2 ? ? 1 ? 2 ln 2 ? 0 ,得 g (1) ? g (4) 3 3

则 b ? ?2 ln 2 ?

? ?

1 ? , ln 3 ? 3 ?

……………………………………8 分

(Ⅲ)由(1)知当 a ? 1 时, ln x ? x ? 1 。 由已知条件 an ? 0, an?1 ? ln an ? an ? 2 ? an ? 1 ? an ? 2 ? 2an ? 1 , 故 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1), 所以当 n ? 2 时, 0 ?

an ? 1 a ?1 ? 2, 0 ? n ?1 ? 2, ? ? ? , an ?1 ? 1 an ? 2 ? 1

0?

a ?1 a2 ? 1 ? 2, 相乘得 0 ? n ? 2n?1 , a1 ? 1 a1 ? 1
n n

又 a1 ? 1, 故 an ? 1 ? 2 ,即 an ? 2 ? 1

…………………12 分

2 2 22 解: (Ⅰ)由切割线定理知 AB ? AD ? AE ,又 AC ? AB ,得 AC ? AD ? AE ? ? ? ? ? ? 4 分

2 (Ⅱ)由 AC ? AD ? AE 得 ?CDA ∽ ?ACE ,所以 ?ACD ? ?CEA

又四边形 GEDF 四点共圆,所以 ?CFG ? ?CED
-8-

故 ?CFG ? ?ACF ,所以 FG // AC 23 解: (Ⅰ)点 P 的极坐标为 ? (Ⅱ) MN 的最小值为

…………………10 分 …………………5 分

? 3 2? ? , ? ?2 3 ?
1 2

…………………10 分

24. 解: (Ⅰ)因为 g ( x) ? ? x ? 3 ? m ? 0 ,所以 x ? 3 ? m ,所以 ? m ? 3 ? x ? m ? 3 , 由题意 ?

?? m ? 3 ? ?5 所以 m ? 2 ; m ? 3 ? ? 1 ?

……………………………………5 分

(Ⅱ)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,所以 x ? 2 ? x ? 3 ? m 恒成立, 因为 x ? 2 ? x ? 3 ? ( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 5 当且仅当 ( x ? 2)(x ? 3) ? 0 时取等, 所以 m ? 5 . …………………………………10 分

-9-


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