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线性代数课件 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组——第1节.PPT_图文

线性代数课件 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组——第1节.PPT_图文

线







第三章
矩阵的初等变换与线性方程组

本章先讨论矩阵的初等变换,建立矩 阵的秩的概念,并提出求秩的有效方

法.再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性
方程组有非零解的充分必要条件和非齐次

线性方程组有解的充分必要条件,并介绍
用初等变换解线性方程组的方法.内容丰

富,难度较大.

一、消元法解线性方程组
分析:用消元法解下列方程组的过程.
引例 求解线性方程组

? 2 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 2, ? x ? x ? 2 x ? x ? 4, ? 1 2 3 4 ? ?4 x1 ? 6 x2 ? 2 x3 ? 2 x4 ? 4, ? ? 3 x1 ? 6 x2 ? 9 x3 ? 7 x4 ? 9,

1 2

3
4

?2

(1)


1? 2 3 ?2

(1)

? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? 4, ? 2 x ? x ? x ? x ? 2, ? 1 2 3 4 ? ? 2 x1 ? 3 x2 ? x3 ? x4 ? 2, ? ? 3 x1 ? 6 x2 ? 9 x3 ? 7 x4 ? 9, ? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? 4, ? 2 x ? 2 x ? 2 x ? 0, ? 2 3 4 ? ? ? 5 x2 ? 5 x3 ? 3 x4 ? ?6, ? ? 3 x2 ? 3 x3 ? 4 x4 ? ?3,

1 2

3
4 1 2

( B1 )

2 3 4

?3 ?21 ? 31

3
4

( B2 )

1 2 ? 2 3 ?52 4 ?32

? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? 4, ? x ? x ? x ? 0, ? 2 3 4 ? 2 x 4 ? ? 6, ? ? x 4 ? ? 3, ? ? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? 4, ? x ? x ? x ? 0, ? 2 3 4 ? x4 ? ?3, ? ? 0 ? 0, ?

1 2

3
4 1 2

( B3 )

3
4

?4 ?2 3

( B4 )

3
4

用“回代”的方法求出解:

? x1 ? x3 ? 4 ? 于是解得 ? x2 ? x3 ? 3 ? x ? ?3 ? 4

其中x3为任意取值.

或令x3 ? c, 方程组的解可记作
? x1 ? ? c ? 4 ? ? ? ? ? ? x2 ? ? c ? 3 ? x?? ??? , x3 c ? ? ? ?3 ? ? ?x ? ? ? ? ? 4? ? ? 1? ? 4 ? ? ? ? ? ? 1? ? 3 ? 即x ? c ? ? ? ? ? 1 0 ? ? 0? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? ?

( 2)

其中c为任意常数.

小结: 1.上述解方程组的方法称为消元 法. 2 .始终把方程组看作一个整体变形,用到如 下三种变换 (1)交换方程次序; ( i 与 j 相互替换) (2)以不等于0的数乘某个方程; (以 i ? k 替换 i ) (3)一个方程加上另一个方程的k倍. (以 i ? k j 替换 i )

3.上述三种变换都是可逆的.

若( A) 若( A) 若( A)

i i i

?j
?k ?k
j

( B ), 则( B ) ( B ), 则( B ) ( B ), 则( B )
i

i i

?j

( A);

? k ( A); ?k
j

( A).

由于三种变换都是可逆的,所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的.故这三种 变换是同解变换.

因为在上述变换过程中,仅仅只对方程组 的系数和常数进行运算,未知量并未参与运 算. 若记 1 2? ?2 ?1 ?1 ? ? 1 ?2 1 4? ?1 B ? ( A b) ? ? 4 ?6 2 ? 2 4? ? ? ?3 ? 6 ? 9 7 9 ? ?

则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组(1)的增广矩阵)的变换.

二、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:

?1? 对调两行(对调 i , j 两行, 记作ri ? rj); ?2? 以数 k ? 0 乘以某一行的所有元素;
?3? 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行
对应的元素上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri ? krj) .

(第 i 行乘 k , 记作 ri ? k)

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”). 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换. 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同.

ri ? rj 逆变换 ri ? rj ; 1 ri ? k 逆变换 ri ? ( ) 或 ri ? k ; k ri ? krj 逆变换 ri ? ( ? k )rj 或 ri ? krj .

如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B, 就称矩阵 A 与 B 等价,记作 A ~ B. 等价关系的性质:
(1) 反身性 A ? A;

(2)对称性 若 A ? B , 则 B ? A; (3)传递性 若 A ? B, B ? C, 则 A ? C.

具有上述三条性质的关系称为等价. 例如,两个线性方程组同解,
就称这两个线性方程组等价

用矩阵的初等行变换 解方程组(1):

1 2? ?2 ?1 ?1 ? ? 1 ?2 1 ? 4? ?1 B?? 4 ?6 2 ?2 4? ? ? ?3 ? 6 ? 9 7 9 ? ?
r1 ? r2

r3 ? 2

1 ?2 1 ?1 ? 1 ?2 ?1 ?1 ?2 ? 3 1 ?1 ? ?3 6 ?9 7 ?

4? ? 2? ? B 1 ? 2 ? 9? ?

2 r2 ? ? r31 ? 1 ? 1 ? ? 1 ?2 1 r3 ? ? 22 r1 ? ?0 B1 ? ? ?0 3 ?5 1 r4 ? ? 32 r1 ? ?3 ? ?0 9 ? ?6 ?3

?1 2 4 ?1 ? ?1 2 2 ?2 ?1 5 2 ??3 ? ?7 3 9? ?4

r2 4 ??r3 ? r3 0 ??2r1 ? B 2 ? ?6 r 3r1 4 ?? ? 3? ?

r2 ? 2 r3 ? 5r2
r4 ? 3r2

?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?

4? ? 1 ?1 1 0? ? B3 ? 0 0 2 ?6 ? ? 0 0 1 ? 3?

1 ?2 1

?1 ? r3 ? r4 ?0 B3 ? ? r4 ? 2r3 0 ? ?0 ?
r1 ? r2

11 ? ? 10 ? ? 00 ? ? 00 ? ?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?

?12 11 ? 00 00

?12 ? 11 20 10

14 ? 4 ? ? ? r3?? r4 10 ? 0 ? B4 ? ? ?16 ? 3 r4?? 2r3 ? ? ? 0 0 ? 3? ?

0 ?1 0

r2 ? r3

4? ? 1 ?1 0 3? ? B5 ? 0 0 1 ?3 ? ? 0 0 0 0?

? x1 ? x3 ? 4 ? B5 对应的方程组为 ? x2 ? x3 ? 3 ? x ? ?3 ? 4

或令x3 ? c, 方程组的解可记作
? x1 ? ? c ? 4 ? ? 1? ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x2 ? ? c ? 3 ? ? 1? ? 3 ? x?? ??? ? c ? ? 1? ? 0 ? x3 c ? ? ? ? ?3 ? ? ? 0? ? ? ? ? 3? ? ?x ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4? ?
其中c为任意常数.

矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵 .
特点: (1)、可划出 一条阶梯线,线 的下方全为零; (2)、每个 台阶 只有一行,

?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?

0 ?1 0

4? ? 1 ?1 0 3? ? B5 ? 0 0 1 ?3 ? 0 0 0 0? ?

台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元,即非零行的第一个非 零元.

行阶梯形矩阵B5还称为行最简形矩阵,即非 零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列 的其他元素都为零.

对于任何矩阵A m?n , 总可经过有限次初等行 变换把他变为行阶梯形和行最简形.
注意:行最简形矩阵是由方程组唯一确定的,行 阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的. 行最简形矩阵再经过初等列变换,可化成标 准形.

?1 ? 0 ? 例如, B 5 ? ?0 ? ?0 ?

0 ?1 0

4? ? 1 ?1 0 3? 0 0 1 ? 3? ? ? 0 0 0 0? 0 1 0 0 0 0 1 0 ? 1 0 ?4 ? 4? 0 ??? 0 ? 1 0 ?3 ? 3? ?? F ? ? 0? 00? 33 ? ? ? ? ? 0 0 0 ?0 ? 0? ?

?1 ? ?0 ?0 c5 ? 4c1 ? 3c2 ? 3c3? ?0 ?

c3 ? c4 c4 ? c1 ? c2

矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形.

特点:F的左上角是一个单位矩 阵,其余元素全
为零.

m ? n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形

? Er O ? F ?? ? ? O O ? m?n 此标准形由m , n, r 三个数唯一确定,其中r 就是
行阶梯形矩阵中非零行 的行数. 所有与矩阵 A 等价的矩阵组成的一个集合, 称为一个等价类,标准形 F是这个等价类中最简 单的矩阵.

思考题
? x1 ? x2 ? 0 已知四元齐次方程组 ? I ? : ? 及另一 ? x 2 ? x4 ? 0 四元齐次方程组 ? II ? 的通解为
k1 ?0,1,1,0 ? ? k2 ?? 1,2,2,1?
T T

?k1 , k2 ? R ?.

问? I ?与? II ?是否有非零公共解 ? 若有, 求出来;若没 有, 说明理由.

思考题解答

将? II ?的通解代入? I ?得

? ? k2 ? k1 ? 2k2 ? 0 ? k ? ? k . 1 2 ? ? k1 ? 2k2 ? k2 ? 0
故? II ?与? I ?的公共解为
k1 ?0,1,1,0 ? ? k2 ?? 1,2,2,1? ? k2 ?? 1,1,1,1?
T T T

所有非零公共解为

k ?? 1,1,1,1?

T

?k ? 0?.


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