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2013版高中全程复习方略配套课件:25指数函数人教A版·数学理浙江专用-文档资料_图文

2013版高中全程复习方略配套课件:25指数函数人教A版·数学理浙江专用-文档资料_图文

第五节 指数函数

三年4考

高考指数:★★

1.了解指数函数模型的实际背景;
2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的 运算; 3.理解指数函数的概念,会解决与指数函数性质有关的问题.

1.指数幂的运算、指数函数的图象、单调性是高考考查的热点 . 2.常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题,考查分类 讨论思想和数形结合思想. 3.多以选择、填空题形式出现,但若以e为底的指数函数与导数 交汇命题则以解答题形式出现.

1.根式

(1)根式的概念
xn=a 则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*.式子 n a 叫做 若______,

根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.

(2)根式的性质 ①a的n次方根的表示:
* n ? x ? a ( 当 n 为奇数且 n ? N 时) ? n x ?a?? . * n ? ? x ? ? a ?当n为偶数且n ? N 时 ?

*) a(n∈N n =__________. n ② ( a)

(a ? 0) ?a ? n n n n ③当n为奇数时, a ? a; 当n为偶数时, a ? a ? __________. ??a (a<0)

【即时应用】 (1)若x4=16,则x的值为______.

(2)化简下列各式结果分别为:
① 3 ? ?4 ? ? ______; ② 4 ? ?4 ? ? ______;
3 4

③ 3 ? a ? 2 ? ? ______; ④
3 6

? a ? b ? ? ______;
2 4

⑤ 6 ?1 ? a ? ? ______; ⑥ 4 ? 3 ? ? ? ? ______ .

【解析】(1) x ? ? 4 16 ? ?2 答案:±2 (2)①-4
?1 ? a ? ⑤ ?0 ?a ? 1 ? ?a ? b ④? ?0 ?b ? a ? a>b a?b a<b

②4
a<1 π-3 a⑥ ?1 a>1

③a-2

2.有理指数幂 (1)分数指数幂的含义 ①正分数指数幂: ②负分数指数幂: a
a
m n

a =_____(a >0,m、n∈N*,且n>1);
1
*,且n>1). n m =____=____(a > 0,m 、n∈N a a
m n

n

m

m ? n

1

0 的负分数指数幂________. 没有意义 ③0的正分数指数幂等于__,0

(2)有理数指数幂的运算性质 ar+s ①ar·as=_____(a>0,r 、s∈Q); ②(ar)s=_____(a>0,r 、s∈Q); ars arbr (a>0,b>0,r∈Q). ③(ab)r=_____ 上述有理数指数幂的运算性质,对于无理数指数幂也适用.

【即时应用】

(1)判断下列根式与分数指数幂的互化是否正确.(请在括号中
填“√”或“×”)
① ? x ? ? ?x ? ②x
? 1 3 1 2

( (

) ) )

? ?3 x

x ?3 y ③( ) 4 ? 4 ( )3 ? x、y ? 0 ? ( y x ④ x ?x
6 2 1 3

? x ? 0?

(

)

(2)化简 4 16x 8 y4 (x<0, y<0) 得______. (3)化简 ( 3 6 a 9 )4 ? ( 6 3 a 9 )4 的结果是______.

【解析】(2) 4 16x 8 y 4 ? (16x 8 ? y )
? 16 g(x ) g(y )
1 4 1 8 4 1 4 4

1 4 4

=2x2|y|=-2x2y. (3)原式= (a )
9 1 ?4 6 3

? (a )

9 1 ?4 3 6

? a4

答案:(1)①× ②× ③√ (2)-2x2y (3)a4

④×

3.指数函数的概念 y=ax(a>0,且a≠1) (1)解析式:_________________. x (2)自变量:__. (3)定义域:__. R

【即时应用】 (1)判断下列函数是否为指数函数.(在括号中填“是”或“否”) ①y=3×2x; ② y ? 2 x ?1 ;
2

( ( (
2

) ) ) )

③y=ax; ④y=(2a-1)x( a> 1 且a≠1).

(

(2)若函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,则实数a的值为______.

?a 2 ? 3a ? 3 ? 1 【解析】(2)由已知 ? , 解得:a ? 2. ?a>0且a ? 1

答案:(1)①否 ②否 ③否 ④是
(2)2

4.指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1

图 象 R ___

定义域

值域

(0,+∞) ________ 过定点(0,1) _____

性 质

y>1 当x>0时,_____; 0<y<1 当x<0时,_____ 增函数 在R上是_______

当x>0时,0<y<1 _____; y>1 当x<0时,_____
减函数 在R上是_______

【即时应用】

(1)如图是指数函数①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx的图象,
则a、b、c、d与1的大小关系是______.

(2)函数f(x)=3-x-1的定义域、值域分别是______. (3)设y1=40.9,y2=80.48, y3 ? ( 1 ) ?1.5 , 则y1,y2,y3的大小关系为
2

______. (4)函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大 a ,
2

则a的值为______.

(5)函数y=ax-2

012+2

012(a>0,且a≠1)的图象恒过定点______.

【解析】(1)在图中画出直线x=1,分别与①②③④交于A、B、 C、D四点,是A(1,a),B(1,b),C(1,c),D(1,d),由图象可知c> d>1>a>b.

(2) f ? x ? ? ( 1 定义域为 R, ) x ? 1,
3

1 x (-1,+∞). Q ( 故值域为 ) ? 1> ? 1, 3

(3)y1=40.9=21.8,y2=80.48=(23)0.48=21.44,y3=21.5, ∵函数y=2x是增函数, 又∵1.8>1.5>1.44,∴y1>y3>y2.

(4)当0<a<1时,有a1-a2= ,
1 解得: a? ; 2
a 当a>1时,有 a 2 ? a1 ?解得: , 2 3 a? . 2

a 2

(5)∵y=ax(a>0且a≠1)恒过定点(0,1), ∴y=ax-2 012+2 012恒过定点(2 012,2 013).

答案:(1)b<a<1<d<c (2)R,(-1,+∞) (3)y1>y3>y2 (4) 或
1 2 3 2

(5)(2 012,2 013)

幂的运算 【方法点睛】 幂的运算的一般规律及要求

(1)分数指数幂与根式根据 a n ? n a m (a>0, m, n ? N* , 且n>1)
可以相互转化.

m

(2)分数指数幂中的指数不能随便约分,例如要将 a 写成 a 等必
须认真考查a的取值才能决定,如 ? ?1? ? ? ?1? ? 1, 而 ? ?1? ? ?1
4 2 2 4
1 2

2 4

1 2

无意义.

(3)在进行幂的运算时,一般是先将根式化成幂的形式,并化 小数指数幂为分数指数幂,再利用幂的运算性质进行运算.

【例1】计算下列各式的值.

?1?? 0.008 1? ? 2?
1 4 1 2 4

?

1 4

7 0 ?1 3 ?3 ?1 ?0.25 ? [3 ? ( ) ] ? [81 ? (3 ) ] 2 ? 10 ? 0.027 3 ; 8 8
1 3

1

1

a 3b 2 3 ab 2 (a b ) a b
? 1 3

? a>0, b>0 ?.

【解题指南】先将根式化为分数指数幂,底数为小数的化成分数, 负分数指数化为正分数指数;然后根据幂的运算性质进行计算.

1 ? 3 4 ?1 3 ?1 【规范解答】(1)原式= [( ) ] 4 ? ? 3 ?1? ? [3?1 ? ( ) ?1 ] 2 ? 10 ? [( 3 )3 ]3 10 2 10

1

3 ?1 1 1 2 ? 1 3 10 1 ? ( ) ? ? ( ? ) 2 ? 10 ? ? ? ? 3 ? 0. 10 3 3 3 10 3 3

) (2)原式= (a b a 1 b 1 ab a 3 gb 3
?a
3 1 1 ? ?1? 2 6 3

3 2

1 3

2 1 3 2

2

?

gb

1 1 1? ? 2? 3 3

a ? ab ?1 ? . b

【反思·感悟】指数幂的一般运算步骤:

有括号先算括号里的,无括号先做指数运算,先乘除后加减,负指
数幂化成正指数幂的倒数,底数是负数,先确定符号,底数是小数,

先要化成分数,底数是带分数的,先化成假分数,若是根式,应化为
分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数运算性质.

指数函数图象的应用

【方法点睛】
1.应用指数函数图象研究指数型函数的性质

对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点
等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变 换得到其图象,然后数形结合使问题得解. 2.利用图象解指数型方程、不等式 一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数

图象数形结合求解.

【提醒】在利用指数函数图象解决上述问题时,图象形状、变 化趋势及经过的特殊点要准确,否则数形结合时易产生失误.

【例2】已知f(x)=|2x-1| (1)求f(x)的单调区间. (2)比较f(x+1)与f(x)的大小. (3)试确定函数g(x)=f(x)-x2零点的个数. 【解题指南】(1)作出f(x)的图象,数形结合求解.

(2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x+1)图象,数形结合求解.
(3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y=x2的图象,数形结合

求解.

x ? 2 ? 1, x ? 0 ? 【规范解答】(1)由f(x)=|2x-1|= ? . x ? ?1 ? 2 , x<0

可作出函数的图象如图.因此函数f(x)在(-∞,0)上递减;函数f(x) 在(0,+∞)上递增. y

o
-1

x

(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)、f(x+1)的图象,如图所
示. y

f(x+1) f(x)

1

-1 x0

o

1

2

x

由图象知,当 2x ?1 ? 1 ?| 2x ? 1| 时,解得 x 0 ? log 2 2 ,
0 0

两图象相交,从图象可见,当 x<log 2 2 时,f(x)>f(x+1);
2 3 2 当 x ? log 时 ,f(x)<f(x+1). 2 3 3

3

当 x ? log 2 时,f(x)=f(x+1);

(3)将g(x)=f(x)-x2的零点转化为函数f(x)与y=x2图象的交点
问题,在同一坐标系中分别作出函数f(x)=|2x-1|和y=x2的图象 如图所示,有四个交点,故g(x)有四个零点.
y=f(x)

y
2 1 -2 -1
O

y=x2

y=1
x

1

-1

【反思·感悟】求解指数型函数的单调性、最值、零点及指数 型方程、不等式问题时能用数形结合的尽量用数形结合法求解, 但要注意画出的函数图象的基本特征必须要准确,否则很容易失 误,如本例(3).

指数函数性质的应用
【方法点睛】

利用指数函数的性质可求解的问题及方法
(1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小. (2)与指数函数有关的指数型函数定义域、值域(最值)、 单调性、奇偶性的求解方法,与前面所讲一般函数的求解这些 问题的方法一致,只需根据条件灵活选择即可.

【例3】(1)函数 y ? 32x ?1 ? 1 的定义域是______. (2)函数 f ? x ? ? ( 1 ) ? x
3

27

2

? 4x ? 3

的单调递减区间为______,值域为

______.
x a (3)(2012·金华模拟)已知函数 f ? x ? ? x ? 1 (a>0且a≠1) a ?1

①求f(x)的定义域和值域;

②讨论f(x)的奇偶性;
③讨论f(x)的单调性.

【解题指南】根据待求的指数型函数的结构特征,选择恰当的
求函数定义域、值域(最值)、单调区间、奇偶性的方法求解. 【规范解答】(1)由题意知 32x ?1 ? 1 ? 0,
27

∴32x-1≥3-3,∴2x-1≥-3, ∴x≥-1,即定义域是[-1,+∞). 答案:[-1,+∞)

(2)令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,由于g(x)在(-∞,-2)上
1 t 单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而 y ? 在 (R ) 上为 3

单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减.
1 又g(x)=-(x+2)2+7≤7, ? f ? x ? ? ( )7 ? 3?7. 3

答案:(-∞,-2)

[3-7,+∞)

(3)①f(x)的定义域是R,
x a 令 y ? x ? 1 ,得ax=- y ? 1 , y ?1 a ?1 ? 10,解得-1<y<1, ∵ax>0,∴- y > y ?1

∴f(x)的值域为{y|-1<y<1}.
?x x a ? 1 1 ? a ② Q f ? ?x ? ? ? x ? ? ?f ? x ? , x a ?1 1? a

∴f(x)是奇函数.

x (a ? 1) ? 2 2 ③ f (x) ? ? 1 ? , x x a ?1 a ?1

设x1,x2是R上任意两个实数,且x1<x2,

2 a x1 ? a x 2 2 2 则 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? x ? x1 ? x . x2 2 1 a ?1 a ?1 a ?1 a ?1 ∵x1<x2,∴当a>1时, a x2>a x1>0,

?

?

??

?

?

从而 a x ? 1>0,a x ? 1>0,a x ? a x <0,
1 2 1 2

∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),f(x)为R上的增函数. 当0<a<1时, a x >a x >0,
1 2

从而 a x ? 1>0,a x ? 1>0,a x ? a x >0,
1 2 1 2

∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),f(x)为R上的减函数.

【反思·感悟】在求解与指数函数有关的函数的性质问题时,要 根据解析式的结构特征,选择适当的方法求解,但对复合函数一 定要注意其定义域.

【易错误区】指数函数图象、性质的应用误区 【典例】(2012·广州模拟)已知函数 y ? b ? a x
2 2
2

? 2x

(a,b是常数且

a>0,a≠1)在区间[ ? 3 ,0 ]上有ymax=3,ymin= 5 , 试求a、b的值. 【解题指南】先确定t=x2+2x在[ ]上的值域,再分a>1, ? ,0 0<a<1两种情况讨论,构建a、b的方程组求解.
3 2

2+2x=(x+1)2-1,值域为[-1,0], 【规范解答】∵x∈[ ? 3 ],∴t=x ,0

2

即t∈[-1,0]. (1)若a>1,函数y=at在[-1,0]上为增函数,∴at∈[ 1], ,1
1 ? 则 b ? a x ?2x ? ?b ? 依题意得 ,b ? 1 ,
2

解得 ? ?

a?2

? ?

a

? ?

?b ? 2

.

1 5 ? b ? ? ? a 2, ? ? ?b ? 1 ? 3

a

(2)若0<a<1,函数y=at在[-1,0]上为减函数,
1 ∴at∈[ 1,],则 a

b ? ax

2

? 2x

1? ? ? ?b ? 1,b ? ?, a? ?
2 ? a ? ? ? 3 . ? ?b ? 3 ? 2 ? 2 ? a ? ? ? 3 . ? ?b ? 3 ? 2 ?

? 1 b? ?3 ? a 解得 依题意得 ? , ? ?b ? 1 ? 5 ? 2 ?

a?2 综上,所求a,b的值为 ? ? 或

?b ? 2

【阅卷人点拨】通过对试题及阅卷数据分析,我们可以得到以下 误区警示和备考建议: 误 区 警 示

在解答本题时,有两大误区:
(1)误将x的范围当成x2+2x的范围,从而造成失误. (2)误认为a>1,只按第(1)种情况求解,而忽略

了0<a<1的情况,从而造成失误.

利用指数函数的图象、性质解决有关问题时,还有以
备 考 建 议 下几个误区,在备考中要高度关注: (1)忽视函数的定义域而失误; (2)未能将讨论的结果进行整合而失误; (3)利用幂的运算性质化简指数式时失误; (4)在用换元法时忽视中间元的范围而失误.

1.(2011·山东高考)若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则 tan a?
6

的值为( (A)0

) (B) 3
3

(C)1

(D) 3

【解析】选D.因为点(a,9)在函数y=3x的图象上,所以
2? 3a=9,a=2, tan ? 3. 6

所以

?21?x , x ? 1 2.(2011·辽宁高考)设函数 f ? x ? ? ? , ?1 ? log 2 x, x>1

则满足f(x)≤2的x的取值范围是( (A)[-1,2] (C)[1,+∞)

)

(B)[0,2] (D)[0,+∞)

【解析】选D.若x≤1,则 21-x≤2,解得0≤x≤1;若x>1,则

1-log2x≤2,解得x>1,综上,x≥0.故选D.

3.(2011·湖北高考)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x) 满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,则f(2)= ( )

?A? 2

? B?

15 4

?C?

17 4

?D? a 2

【解析】选B.∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, ∴由f(x)+g(x)=ax-a-x+2 ①

得-f(x)+g(x)=a-x-ax+2,



①+②,得g(x)=2,①-②得f(x)=ax-a-x,

又g(2)=a,∴a=2,∴f(x)=2x-2-x,
∴f(2)=22-2-2=15 .
4

4.(2012·杭州模拟)在下列图象中,二次函数y=ax2+bx及指数

函数 y ? ( b ) x 的图象只可能是(
a

)

【解析】选A.逐项验证,易得 0< b <1, 则 ? b ? (? 1 ,0), 排除B、C、D,故选A.
2a 2 a

5.(2012·沈阳模拟)类比“两角和与差的正、余弦公式”的形
x ?x x ?x a ? a a ? a 式,对于给定的两个函数,S ? x ? ? ,C ? x ? ? , 2 2

其中a>0,且a≠1,下面正确的运算公式是( ①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y); ②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y);

)

③C(x-y)=C(x)C(y)-S(x)S(y);
④C(x+y)=C(x)C(y)+S(x)S(y).

(A)①③

(B)②④

(C)①④

(D)①②③④

【解析】选D. ∵S(x)C(y)+C(x)S(y)
a x ? a ?x a y ? a ?y a x ? a ?x a y ? a ?y ? g ? g 2 2 2 2 a x?y ? a x?y ? a ? x?y ? a ? x?y ? ? 4 a x?y ? a x?y ? a ? x?y ? a ? x?y a x?y ? a ? x?y ? ? S? x ? y ? , 4 2 ∴①成立;

同理可验证②③④也成立.


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